在交通事故中，即使双方已经口头私了，仍然有可能向交警部门申请出具责任认定书。不过，这取决于一些具体情况。

如果私了后双方对事故责任存在分歧，或者私了协议未能全部执行，那么就有权利向交警部门提出申请，请求重新进行责任认定。然而，如果私了过程中已经形成了具备法律效力的书面协议，并且协议内容没有违背法规，那么该协议可能会受到法律保护，此时可能无法再次请求交警部门重新认定责任。

另外，如果事故发生时间较长，现场的证物已经消失，这可能会影响到交警部门对责任的准确判定。因此，能否成功认定以及最终的认定结果如何，需要根据实际情况来判断。

总的来说，为了避免后续可能出现的纠纷，建议在条件允许的情况下，尽量让交警部门出具责任认定书。这样可以更加明确地划分双方的责任，并为后续的保险理赔等事宜提供有力的证据支持。如果您有这方面的需求或疑问，可以直接向我咨询。