针对您提出的“向哪个部门申请信访督办”的问题，我为您提供以下详细解答：

结论前置：您应向国家信访局申请信访督办。

一、申请资格与前期准备

在申请信访督办前，请确保您符合以下申请资格，并做好充分的前期准备：

1. 申请资格：您必须是信访事项的当事人或法定代理人，或与信访事项有直接利害关系。若您非直接当事人，则需持有合法授权或委托。

2. 前期准备：

   • 整理信访材料，包括详细描述信访事项、明确诉求，并附上相关证据材料，如合同、协议、判决书等。
   • 撰写申请书，说明申请督办的原因、案件基本情况、涉及问题及期望目的。

二、申请流程

1. 选择提交方式：

   • 网上信访：通过国家信访局官方网站进行注册、登录，并填写信访事项，上传相关材料。
   • 书信信访：将申请材料邮寄至国家信访局，并在信封上注明“信访”。
   • 来访信访：携带有效身份证件和相关材料，到国家信访局指定的接待场所提出。

2. 提交申请材料：按照所选提交方式，将申请书及相关材料提交给国家信访局。

3. 等待处理：

   • 国家信访局会对您的信访事项进行登记、受理和转送，并在规定时间内告知您是否受理。
   • 若在规定时间内未得到合理处理，或处理结果不符合实际、违反规定，您可考虑申请督办。

4. 申请督办：

   • 通过原信访事项补充督办理由和要求，或以书面形式明确提出督办申请。
   • 关注处理进度，利用提供的查询方式及时了解督办申请的处理情况和案件进展。

三、重要提示

• 在整个信访过程中，请遵守法律、法规，不得损害国家、社会、集体的利益和其他公民的合法权利。
• 保持沟通渠道畅通，尊重并配合国家信访局的工作流程和决定，以推动案件的妥善解决。

若您在申请信访督办过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我作为专业律师，将竭诚为您提供法律支持和建议。