当无证网约车被运管部门逮到时，司机需要冷静应对，并按照以下步骤来妥善处理：

一、明确法律地位与积极配合

首先，司机必须认识到无证网约车运营是违法的，将面临法律处罚。在遭遇运管检查时，应保持冷静，积极出示相关证件（如驾驶证），并如实说明情况，配合执法人员的调查。抗拒或逃避执法将可能面临更严重的法律后果。

二、了解处罚内容与依据

执法人员会指出车辆涉嫌无证经营网约车的具体违法事实，并根据《网络预约出租汽车经营服务管理暂行办法》进行处罚。通常，未取得经营许可擅自从事网约车经营活动的，将被责令改正、警告，并处以10000元以上30000元以下罚款；构成犯罪的，还将追究刑事责任。司机应仔细阅读运管部门出具的《违法行为通知书》等执法文书，确认违法事实、处罚依据及自身享有的陈述、申辩和听证权利。

三、行使法定权利与接受处罚

1. 陈述和申辩：在规定时间内向运管部门提出陈述和申辩意见，说明个人情况或特殊原因。
2. 要求听证：若拟作出的处罚较重，司机有权要求举行听证。应在规定期限内书面提出听证申请，行政机关将组织听证。
3. 接受处罚：如认为处罚决定合理合法，应在规定期限内缴纳罚款。逾期不缴将按日加处罚款。

四、法律救济途径

若对处罚有异议，司机可在知道具体行政行为之日起60日内申请行政复议，或在6个月内提起行政诉讼。复议或诉讼期间，司机应提供充分证据支持自己的主张，通过司法途径维护自身权益。

五、后续整改与合法运营

1. 及时办理相关证件：包括《网络预约出租汽车驾驶员证》和《网络预约出租汽车运输证》等，确保未来运营活动合法合规。司机应咨询当地交通主管部门或相关机构，了解具体的办证流程和所需材料，并按照要求进行申请。
2. 关注政策动态：密切关注网约车行业政策变化，确保运营行为始终符合法律法规要求。
3. 取回被扣车辆：如车辆被扣押，需按照运管部门的指示办理相关手续以取回车辆，并可能涉及支付一定的费用。

六、寻求专业法律援助

在整个过程中，如遇复杂法律问题或需要专业帮助，司机应及时寻求律师的法律援助，以确保自身权益得到充分保护。

综上所述，面对无证网约车被运管抓住的情况，司机应积极配合执法、了解处罚依据、依法行使权利、接受处罚或寻求法律救济，并加强法规学习与合规运营意识。同时，也应以此为契机加强法规学习，确保未来运营的合法合规性。