结论前置：在招标过程中，若投标人原本有三家，但在中标公示后废掉一家，是否需要重新招标，需根据具体情况分析。若废标后导致有效投标人不足三家，且项目明显缺乏竞争，则可能需要重新招标；若废标不影响项目的竞争性，或者符合特定条件，则可以不重新招标。

分析说明：

1. 一般情况：需要重新招标

   • 法律依据：根据《中华人民共和国招标投标法》第二十八条，投标人少于三个的，招标人应当依照本法重新招标。这是为了确保招标的竞争性和公正性。
   • 原理分析：招标投标活动应遵循公开、公平、公正和诚实信用的原则。当有效投标人不足三家时，难以形成充分的竞争环境，可能损害招标的公正性和竞争性，导致招标人无法获得最优的投标方案和合理的价格。

2. 特殊情况：可以不重新招标

   • 情形一：如果废标后剩余的有效投标人仍然具有足够的竞争性，且项目不属于必须审批、核准的工程建设项目，招标人可以自行决定不再进行招标。
   • 情形二：对于必须审批、核准的工程建设项目，如果废标后重新招标仍然无法满足三家投标人，报经原审批、核准部门审批、核准后可以不再进行招标。这依据的是《工程建设项目施工招标投标办法》第三十八条的相关规定。
   • 情形三：如果项目采购任务紧急，且满足一定条件，经相关部门批准，可以采取其他采购方式，如竞争性谈判、询价等，而不必重新招标。这依据的是《政府采购货物和服务招标投标管理办法》的相关规定。

建议：

• 在处理此类情况时，招标人应首先明确废标的原因，并对剩余投标人的竞争性进行评估。
• 如果决定重新招标，应确保招标文件的修改和调整能够吸引更多潜在投标人参与。
• 如果考虑不重新招标，应确保符合相关法律法规的规定，并报经相关部门审批或核准。

总结：

综上所述，是否需要重新招标需根据具体情况而定。招标人在处理此类情况时，应严格遵守相关法律法规和部门规章的规定，确保招标活动的合法性和顺利进行。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。