离婚后，父母对子女的监护权是一个涉及法律和情感的重要问题。以下是对这一问题的详细解答：
一、监护权的定义与性质
监护权是指父母对未成年子女在人身、财产及其他合法权益方面进行监督和保护的权利。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的法定监护人，这一身份不因父母之间的婚姻关系解除而受到影响。即使离婚后，父母双方仍然共同享有对子女的监护权。
二、离婚后监护权的具体表现
抚养权：离婚后，子女无论由父或母直接抚养，都是父母双方的子女。直接抚养方负责子女的日常生活照料，而另一方则通过支付抚养费等方式参与子女的抚养。
教育权：父母双方都有权参与子女的教育决策，包括选择学校、教育方式等。即使不直接抚养子女的一方，也有权了解子女的教育情况，并给出建议或意见。
保护权：父母双方都有责任保护子女的人身安全和财产安全，防止子女受到任何形式的伤害。
三、监护权的行使与限制
共同行使：离婚后，父母应共同行使对子女的监护权，通过协商或法律程序确定子女的抚养、教育等事宜。
最有利于子女原则：在行使监护权时，应以子女的最大利益为出发点，确保子女的身心健康和全面发展。
特殊情况下的限制：如果未与子女共同生活的一方有犯罪行为、虐待行为或对子女明显不利，人民法院有权根据申请撤销其监护人资格。
四、实际案例解读
以“张某诉李某、刘某监护权纠纷案”为例，该案强调了父母双方平等享有对未成年子女的监护权，即使处于分居或离婚状态，也不得擅自剥夺对方的监护权。案例中，李某和刘某擅自带走李某某并拒绝张某探望，构成了对张某监护权的侵害。法院最终判决李某某暂由张某直接抚养，并保障了李某的探望权。
五、建议与总结
加强沟通：离婚后，父母双方应加强沟通，共同协商子女的抚养、教育等事宜，确保子女的健康成长。
尊重对方权利：无论是否直接抚养子女，都应尊重对方的监护权，不得擅自剥夺或限制对方的权利。
寻求法律援助：在监护权纠纷中，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
综上所述，离婚后父母对子女的监护权是法定且不可剥夺的。父母双方应共同行使监护权，以子女的最大利益为出发点，确保子女的身心健康和全面发展。