关于老人留下的公房如何继承的问题，首先要明确的是，公房并不属于公民死后遗产的范围，因为其所有权归国家或政府所有。公房的承租人只享有对该房屋的使用权，而不具有所有权。因此，公有住房的使用权不能作为遗产来继承。

当公房的承租人死亡后，其承租权会随着合同的自动终止而消灭，不能由继承人直接继承。如果继承人希望继续租住该房屋，需要与房屋所有人另行订立租赁合同。在这种情况下，作为承租人的家庭成员通常享有优先承租该公房的权利，但这种权利并非基于继承，而是在原承租基础上重新建立的租赁关系。

具体来说，公房承租人死亡后，承租人的确定通常遵循以下规定：

1. 如果承租人生前在本处有本市常住户口的共同居住人，由这些共同居住人协商一致确定的人选继续承租。
2. 如果不能协商一致，出租人会按照一定顺序在共同居住人中确定变更承租人，这个顺序通常是：原承租人的配偶、子女（考虑他处住房情况和本处居住时间长短）、父母、其他人（也考虑他处住房情况和本处居住时间长短）。
3. 如果承租人生前在本处无本市常住户口的共同居住人，则由其他在本市有常住户口的配偶和直系亲属协商一致确定的人选继续承租。
4. 如果仍不能协商一致，出租人会按照类似的顺序确定承租人。

另外，如果老人希望孙子能够继承其公房的使用权，可以通过立遗嘱的方式来实现。但需要注意的是，遗嘱中必须明确说明将公房的使用权遗赠给孙子，并且遗嘱需要经过公证才能具有法律效力。然而，即使立了遗嘱，孙子也并不能直接获得公房的所有权，而只是获得了继续承租该公房的权利。

总的来说，老人留下的公房并不能直接通过继承的方式转让给子女或孙子。如果希望继续租住该房屋，需要与房屋所有人另行订立租赁合同或按照相关规定确定新的承租人。如果老人希望孙子能够继续承租其公房，可以通过立遗嘱的方式来实现这一愿望。