合同到期时，双方确实都有权决定是否续签。以下是对这一问题的详细解答：
一、合同到期不续签的合法性
从法律角度来看，合同到期即意味着合同的效力终止，双方的权利和义务也随之结束。在这种情况下，任何一方都有权利决定是否继续签订新的合同。如果一方不愿意续签，合同将自然终止，且无需承担违约责任。
二、注意事项
合同条款：需要特别注意的是，如果合同中已经约定了关于续约的条款，或者一方在合同到期前已经表达了续约的意向而另一方拒绝，可能会引发法律纠纷。因此，在决定是否续签时，应仔细审查合同条款，并考虑合同履行情况及市场环境变化等因素。
通知义务：虽然合同到期不续签无需承担违约责任，但双方通常应按照规定提前通知对方。这是为了给对方留下足够的准备时间，避免因合同突然终止而造成的不必要的损失或麻烦。
终止手续：决定不续签后，应按照合同约定的程序办理终止手续。这可能包括但不限于书面通知对方、清理双方之间的债权债务关系等。确保所有手续都办理妥当，以避免后续可能出现的法律风险。
三、相关情况说明
合同到期后的离职：对于员工而言，合同到期后，劳动关系自然终止，员工可以在当天离职，无需提前通知用人单位（除非合同中有特别约定）。但如果用人单位存在违法行为（如未足额支付劳动报酬、未依法缴纳社保等），员工可以随时离职并主张自己的权益。
失业金的领取：合同到期是否能领取失业金需根据具体情况判断。如果满足失业保险的缴费义务、非因本人意愿中断就业以及已办理失业登记并有求职需求等条件，那么可以领取失业金。但如果因本人主动不续签合同等原因导致合同到期而终止劳动关系，可能无法领取失业金。
综上所述，合同到期后可以不续签，这是合法的行为。但在处理相关事宜时，应谨慎对待合同条款、履行通知义务并办理好终止手续，以确保双方的权益得到妥善保护。