在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律继承流程的问题，我会根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答。
一、明确遗产范围与性质
首先，我们需要明确父亲去世后留下的存款是否属于遗产。一般来说，父亲在其婚姻期间积累的存款，若未特别约定，通常属于夫妻共同财产。这意味着，存款的一半自然归母亲所有，而另一半则作为父亲的遗产进行分配。如果存款是父亲婚前个人财产，或者有明确约定为父亲个人所有，那么全部存款都将作为遗产。
二、确定继承方式
接下来，我们需要确定继承方式。这主要取决于父亲是否留下了合法有效的遗嘱：
遗嘱继承：如果父亲生前立有遗嘱，并且遗嘱中明确安排了存款的继承，那么我们将严格遵循遗嘱执行。遗嘱继承人可以是母亲、子女、父母或其他指定的人。
法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承顺序进行。
三、法定继承顺序与份额
在法定继承中，根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产按照下列顺序继承：
第一顺序继承人：包括配偶（即母亲）、子女、父母（若在世）。在本案例中，我们假设父亲的父母已不在世或放弃继承权，因此主要考虑母亲和子女作为第一顺序继承人。
继承份额：同一顺序继承人原则上均等分配遗产。但如果有特殊情况，如某个继承人生活困难、缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务，那么该继承人可以适当多分遗产。相反，如果某个继承人有扶养能力和条件却不尽扶养义务，那么他可能不分或少分遗产。
四、办理继承手续
确定了继承人和继承份额后，我们需要办理相关的继承手续：
准备证明材料：包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）和亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）。
继承公证：前往公证处办理继承公证，以确认继承人的身份和遗产范围。这是办理银行手续的重要前提。
银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款的支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，您可以具体咨询相关银行。
五、特殊情况处理
在继承过程中，可能会遇到一些特殊情况，如继承人之间对存款继承存在争议。在这种情况下，我们首先尝试通过协商或调解来解决争议。如果无法协商一致，那么可以通过向人民法院提起诉讼来解决，法院将依法判决。
综上所述，继承父亲名下的存款需要明确遗产范围与性质、确定继承方式、了解法定继承顺序与份额、办理继承手续，并在遇到特殊情况时通过法律途径解决。希望这个解答能够帮助您清晰地了解整个继承流程。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。