结论：欠款人在被银行起诉后，若能在法院受理前或判决前将信用卡欠款（含本金、利息、滞纳金等）全额还清，银行通常会选择撤诉；但若案件已进入判决阶段或涉及刑事责任，则银行撤诉受限。以下是对此问题的详细分析：
一、银行起诉与撤诉的基本逻辑
银行起诉目的：银行提起诉讼主要是为了追讨欠款，保护其合法债权。当欠款得到全额清偿时，银行的诉求达成，一般会考虑撤诉。
撤诉条件：
- 诉前还款：在法院未受理案件前还清所有欠款，银行倾向于撤销起诉，因其主要目的已实现。此时，银行可能会向法院提交撤诉申请，经法院审查同意后，案件即可撤销。
- 诉中至判决前还款：虽然此时已经还款，但法院可能已经投入了司法资源，撤诉的便利性降低。不过，如果银行认为继续诉讼已无必要，仍可能选择撤诉。即使银行不撤诉，双方也可在法院主持下进行调解，持卡人偿还欠款后，双方达成调解协议，法院制作调解书，案件以调解结案，达到类似撤诉的效果。
- 判决后还款：判决生效后还款，不影响判决效力，但履行了还款义务，避免了进一步法律执行措施。此时，银行通常不会撤诉，因为判决已经生效。
二、特殊情况下的法律责任
刑事责任：若信用卡欠款行为构成信用卡诈骗等犯罪，即使还清欠款，银行也无法撤诉，因为刑事责任的追究由司法机关决定。不过，积极还款可以作为从轻量刑的情节，在后续的量刑过程中得到考虑。
部分还款或不完整还款：如果持卡人只是部分还款或不完整还款，银行可能不会撤诉，因为其债权未完全实现。此时，银行可能会继续追究持卡人的法律责任，要求其偿还剩余欠款及相应利息、滞纳金等。
三、法律后果与应对策略
法律后果：
- 逾期还款记录可能影响个人信用评级，导致未来贷款难度增加。
- 长时间逾期或大额欠款可能面临违约金、滞纳金等额外费用。
- 若涉及刑事责任，还可能面临刑事处罚。
应对策略：
- 主动沟通：建议持卡人在遇到还款困难时，提前与银行沟通，说明情况并寻求分期还款、延期还款或减免部分利息的解决方案。这有助于避免被动等待诉讼，减少不利法律后果。
- 积极应诉：若收到法院传票，应保持冷静，积极配合法律程序，准备相关证据材料以支持自己的主张。
- 信用修复：还款后，关注个人信用报告，采取措施逐步改善信用记录，如按时还款、避免再次逾期等。
四、实际操作建议
- 及时沟通：一旦发现还款困难，立即与银行联系，制定可行的还款计划。这有助于避免银行采取法律手段追讨欠款。
- 保留证据：在与银行沟通或还款过程中，保留好相关证据材料，如还款凭证、沟通记录等。这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用。
- 关注案件进展：若案件已进入诉讼程序，密切关注案件进展，及时与银行或法院沟通，了解案件处理情况。
总结：面对银行信用卡欠款问题，最重要的是及时行动。无论是通过还款还是协商解决方案，都应尽早进行，以避免不必要的法律纠纷和信用损害。在涉及法律程序时，理解并把握正确的时间点采取相应行动至关重要。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。