考上事业编制后，原单位不可以随时辞职，而是需要遵循一定的法律程序和合同约定。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动关系下的辞职规定

若你与原单位建立的是劳动关系，那么你的辞职行为将受到《中华人民共和国劳动合同法》的调整：

1. 试用期内：如果你还在试用期内，你可以提前三日通知原单位解除劳动合同。
2. 转正之后：如果你已经转正，你需要提前三十日以书面形式通知原单位，方可解除劳动合同。三十天期满后，无论原单位是否获得批准，你都可以离职并办理相关手续。
3. 单位存在过错：如果原单位存在未提供劳动保护、未及时支付劳动报酬等过错，你可以随时解除劳动合同，无需提前通知。

二、人事关系下的辞职规定

若你与原单位建立的是人事关系，如原本就在事业单位工作，那么你的辞职行为将受到《事业单位人事管理条例》等相关规定的调整：

1. 一般情况：事业单位工作人员通常需要提前30日书面通知事业单位，可以解除聘用合同，但双方有特别约定的除外。
2. 服务期条款：如果你的聘用合同中约定了服务期，且在服务期内考上新的事业编制想要离职，你可能需要承担违约责任，如支付违约金。

三、辞职流程与注意事项

无论你与原单位建立的是劳动关系还是人事关系，辞职时都需要遵循一定的流程和注意事项：

1. 查阅合同：在提出辞职前，务必仔细查阅与原单位签订的劳动合同或聘用合同，了解其中关于辞职的具体规定和要求。
2. 沟通协商：提前与原单位进行充分沟通，妥善处理好工作交接等事宜，确保辞职不会对原单位的工作造成过大影响。一般来说，提前一个月或更长时间提出辞职申请是较为合适的。
3. 提交辞职申请：撰写正式的辞职申请书，明确表达辞职意愿和原因，并签字确认。按照单位规定的方式（如亲自递交、邮寄或电子邮件）提交辞职申请。
4. 等待审批：及时与单位的人事部门或直接上级沟通，了解辞职申请的审批进度。在审批通过后，与单位协商确定具体的离职时间。
5. 办理离职手续：包括工作交接、归还财物、财务结算等。确保所有手续都办理完毕，并要求单位出具离职证明。
6. 档案和社保转移：离职后，根据个人情况办理档案托管手续，并配合单位完成社会保险关系的转移。

四、法律责任与风险提示

1. 遵守法律法规：辞职行为必须符合法律法规和职业道德的要求，否则可能面临法律纠纷和赔偿责任。
2. 保护个人隐私：在办理离职手续时，注意保护个人隐私，避免个人信息泄露。
3. 维护职业素养：即使已决定离开，也要保持良好的职业素养和道德品质，维护与同事和单位的良好关系。

总结与建议：考上事业编制后想要辞职，必须严格按照法律规定和合同约定的程序进行。在辞职前，务必仔细查阅合同条款、与原单位进行充分沟通、提交正式的辞职申请，并等待审批通过后办理离职手续。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。