公立学校合同制教师能否转编，这主要取决于当地的具体政策和规定。以福州市为例，根据福州市教育局发布的相关通知和公告，我们可以了解到以下信息：

首先，福州市教育局确实存在针对市属公办中小学、幼儿园编外合同教师转编内的专项招聘考试。这一政策为合同制教师提供了转为编制内教师的机会。

其次，要参加这样的专项招聘考试，合同制教师需要满足一定的条件。例如，在福州市的案例中，要求合同制教师已在市属学校连续服务期满三年、年度绩效考核合格及以上，且年龄不超过40周岁。这些条件确保了转编的教师具备一定的教学经验和能力。

再者，转编的过程通常包括报名、资格审查、考试（笔试和面试）、体检、考核等环节。考试内容可能涉及教育综合知识以及面试中的专家提问等，旨在全面评估教师的专业素养和教学能力。

最后，如果合同制教师成功通过考试并被确定为拟聘人选，他们还需要参加体检，并在体检合格后办理入编手续。这一过程确保了转编教师的身体健康状况符合教师职业的要求。

然而，需要注意的是，不同地区的政策可能存在差异。因此，如果您是公立学校的合同制教师，并希望了解是否能转编以及具体的转编流程，我建议您直接咨询当地的教育局或相关部门，以获取最准确和最新的信息。

总的来说，公立学校合同制教师转编是有可能的，但具体能否实现以及转编的流程和条件，需要依据当地的教育政策和规定来确定。