针对您提出的“行政履职申请的答复时限”问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、行政履职申请答复时限的一般规定
行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请后，负有在法定期限内进行审查并作出答复的义务。这一时限通常设定为六十天，这是为了保障行政效率，同时确保申请人的合法权益得到及时回应。
二、答复时限的延长情况
情况复杂或需进一步调查：对于情况复杂或需要进一步调查核实的履职申请，行政机关可以依法延长答复期限。但需要注意的是，延长期限不得超过三十天，并且必须经过合法程序批准，同时告知申请人延期的理由和预计答复时间。
涉及第三方权益：如果履职申请涉及第三方权益，行政机关在作出答复前可能需要征求第三方的意见。这种情况下，征求意见的时间通常不计入答复时限内，但行政机关应尽快完成征求意见程序，并及时告知申请人进展情况。
三、紧急情况下的特殊处理
在涉及公共安全、重大利益等紧急情况下，行政机关应尽快对履职申请作出答复，并采取相应措施。这是为了确保申请人的合法权益得到及时保护，防止因延误答复而造成不可挽回的损失。
四、答复的形式与要求
书面回复的优先性：虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面方式回复申请人，确保答复内容的清晰、准确和可追溯性。
非书面回复的例外情况：在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关可以选择非书面方式进行回复。但这种回复方式应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并且行政机关应保留相应的记录以备查证。
五、法律后果与救济途径
如果行政机关未能在法定期限内对履职申请作出答复，申请人有权依法采取投诉、申请行政复议或提起行政诉讼等措施来维护自身权益。这些救济途径为申请人提供了法律保障，确保行政机关的答复行为受到法律监督和约束。
六、建议与注意事项
了解具体时限：由于不同地区和不同行政事项的答复时限可能存在差异，建议您在处理具体事务前咨询当地法律专业人士或相关行政机关，以获取最准确的信息和指导。
保留申请凭证：在提交履职申请时，请务必保留好申请凭证（如邮寄回执、在线提交确认等），以便在需要时证明您已经提出了申请。
及时跟进进展：在等待答复期间，您可以适时与行政机关联系，了解申请的处理进展情况。这有助于您及时掌握信息，并在必要时采取进一步行动。
综上所述，行政机关在收到履职申请后，必须在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障申请人合法权益的重要举措。希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。