投标第一名放弃后往下顺延是否合法，需根据具体情况判断，在符合法律法规、招标文件要求，并遵循法定程序的前提下，顺延是合法的。以下从多个角度进行分析：

一、合法性依据与条件

1. 招标文件规定：

   • 招标文件是招投标活动的核心依据。若招标文件中明确规定了第一名放弃中标后的顺延规则，如“第一名放弃中标后，依次由后续名次递补”，则应按文件规定执行。
   • 若招标文件未明确规定，则需依据相关法律法规处理。

2. 相关法律法规：

   • 根据《中华人民共和国招标投标法》及其实施条例，废标后通常应重新招标，以确保公正、公平。但在特定情况下，如国有资金占控股或主导地位的项目中，当排名第一的中标候选人因法定情形（如放弃中标、不可抗力、不提交履约保证金、违法行为等）不符合中标条件时，招标人可以依序确定其他中标候选人为中标人。

3. 顺延条件：

   • 顺延的中标候选人（如第二名）的投标文件必须完全符合招标文件要求，无违法违规行为。
   • 必须满足招标文件中规定的各项资格条件，具备完成项目的能力。

二、具体程序要求

1. 确认放弃情形：

   • 招标人需有合法依据认定第一名放弃中标，放弃理由必须符合法律法规和招标文件规定，并及时书面通知第一名投标人。

2. 公示与公告：

   • 确定第一名放弃中标后，应进行公示和公告，说明放弃原因和处理结果，公示期不少于法定时间，以便其他投标人提出异议。

3. 审查与决定：

   • 招标人在顺延前，应对后续候选人的资格和投标文件进行再次审查，确保其符合要求。
   • 决定顺延时，应遵循评标委员会提出的候选人名单排序。

三、可能存在的违法情况

1. 违反法定程序：

   • 如未经评标委员会评审直接顺延，或未给予投标人提出异议的机会，则顺延行为可能违法。

2. 恶意操作：

   • 招标人或相关人员与其他投标人串通，故意让第一名放弃中标以让特定候选人中标，严重违反招标投标法，损害其他投标人利益。

四、实践中的处理建议

• 在遇到招投标第一名放弃中标后是否可以顺延的问题时，应仔细研究招投标文件的规定，并咨询专业法律意见（即直接向我咨询，我会结合具体情况给出详细解答）。
• 招标人在处理此类问题时应谨慎行事，确保处理方式的合法性和公正性，避免引发不必要的法律纠纷。

总结来说，投标第一名放弃后往下顺延的合法性需根据具体情况判断。在符合法律法规、招标文件要求，并遵循法定程序的前提下，顺延是合法的。为确保招投标的公正、公平和合法性，招标人应严格按规定操作，并在遇到问题时及时咨询专业法律人士的意见。