结论：公司每个月都要求员工签离职合同和劳动协议的行为，在大多数情况下是不合法且不合常理的，可能存在规避法律责任、损害员工权益的嫌疑。下面我将从多个角度详细分析这一问题。

一、离职合同与劳动协议的基本性质

1. 离职合同：通常是在员工离职时，与用人单位就离职后的相关事宜（如工资结算、经济补偿、保密义务等）达成的协议。它标志着劳动关系的终止，并明确了双方在此后的权利和义务。离职合同一般不需要每月签订，而是在员工实际离职时签订。

2. 劳动协议：即劳动合同，是用人单位与劳动者之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同应当具备必备条款，并由用人单位与劳动者协商一致后签订。劳动合同的签订通常是在员工入职时，而不是每月都签订。

二、公司每月要求签订离职合同和劳动协议的可能原因及合法性分析

1. 规避法律责任：

   • 公司可能试图通过每月签订离职合同和劳动协议的方式，来规避对员工的长期法律责任，如支付经济补偿、提供社会保险等。这种行为显然违反了《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，该法要求用人单位与劳动者建立劳动关系应当订立书面劳动合同，并明确规定了劳动合同的必备条款和签订程序。

2. 损害员工权益：

   • 每月签订离职合同和劳动协议可能导致员工在劳动关系中的权益得不到保障。例如，员工可能因此失去获得经济补偿、社会保险等法定权益的机会。此外，频繁签订合同也可能给员工带来不必要的心理压力和负担。

3. 合法性存疑：

   • 从法律角度来看，公司每月要求签订离职合同和劳动协议的行为缺乏合法依据。除非有特殊情况（如员工每月都实际离职并重新入职），否则这种行为很可能被视为违法行为，并可能受到劳动行政部门的处罚。

三、员工应如何应对

1. 拒绝不合理要求：

   • 员工有权拒绝公司每月签订离职合同和劳动协议的不合理要求。如果公司坚持此要求，员工可以向劳动行政部门投诉或寻求法律援助。

2. 保留证据：

   • 员工应妥善保管与公司签订的所有合同和协议，以备不时之需。如果公司存在违法行为，这些证据将有助于员工维护自己的合法权益。

3. 咨询专业律师：

   • 虽然在这里我作为李佳丽律师已经给出了一些建议，但面对复杂的法律问题，员工仍应咨询专业律师以获取更具体、更个性化的法律建议。不过，你可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律分析和建议。

总结与建议：公司每月要求签订离职合同和劳动协议的行为在大多数情况下是不合法且不合常理的。员工应坚决拒绝这种不合理要求，并保留好相关证据以备不时之需。如果遇到法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律分析和建议。