物业有责任及时维修损坏的电梯，若迟迟不修，业主可以通过多种途径来维护自己的合法权益。以下是从不同角度为您详细分析：
一、法律依据与物业责任
《物业管理条例》的相关规定：
- 根据《物业管理条例》第三十五条，物业服务企业应当按照物业服务合同的约定，提供相应的服务，包括对房屋及配套设施设备进行维修、养护。电梯作为小区的重要配套设施，物业有责任确保其正常运行，并在出现故障时及时维修。
- 若物业未能履行这一义务，导致业主人身、财产安全受到损害的，应当依法承担相应的法律责任。
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》第二百八十一条，建筑物及其附属设施的维修资金属业主共有，可用于电梯等共有部分的维修。若物业不维修电梯，可能构成违约，业主有权要求其承担违约责任。
二、物业迟迟不修电梯的可能原因及应对
资金问题：
- 若维修资金不足，物业应按规定程序申请使用维修资金。业主可监督资金使用情况，确保资金用于电梯维修。
- 应对：业主可以要求物业公示维修资金的使用情况，并监督其按照程序申请和使用资金。
技术难题或厂家售后问题：
- 有时电梯故障可能涉及复杂的技术问题或需要厂家提供售后服务，这可能导致维修时间延长。
- 应对：物业应积极协调厂家或专业维修人员，尽快解决技术难题。业主可以要求物业定期通报维修进展，确保维修工作顺利进行。
物业不作为或管理不善：
- 若物业因管理不善或故意拖延导致电梯迟迟不修，业主应采取更积极的措施来维护自己的权益。
- 应对：业主可以先尝试与物业进行直接沟通，明确指出电梯故障的情况及潜在风险，并要求立即维修。同时，保留沟通记录作为证据。
三、业主的维权途径
与物业沟通协商：
- 业主可以先尝试与物业进行直接沟通，明确表达电梯故障对生活的影响及维修的紧迫性。
- 建议：以书面形式向物业提交维修要求，并保留好书面通知的发送凭证，以便后续维权。
向业主委员会反映：
- 若小区设有业主委员会，业主可以向其反映电梯故障问题。业主委员会有权监督物业服务质量，并可要求物业履行维修义务。
- 建议：联合其他受影响的业主共同向业主委员会反映问题，增强维权力量。
向相关部门投诉：
- 业主可以向当地的房地产管理局或住房和城乡建设局投诉物业的不作为。这些部门负责监督管理物业管理活动，接到投诉后会进行调查并要求物业限期整改。
- 同时，由于电梯属于特种设备，业主也可以向质量技术监督部门（如技术监督局或特种设备安全监察科）投诉电梯安全隐患。相关部门会进行检查并要求物业进行维修和整改。
- 建议：在投诉时提供详细的电梯故障情况、影响及期望的维修时间等信息，以便相关部门更好地了解问题并采取措施。
通过法律途径解决：
- 若物业仍然拒不履行维修义务，业主可以向人民法院提起诉讼，要求物业承担违约责任并赔偿因电梯故障造成的损失。
- 建议：在诉讼过程中提供充分的证据，如电梯故障的照片、视频、维修记录、与物业的沟通记录等。法院会根据事实和法律作出判决，如果物业败诉，将被强制要求履行维修义务，并可能承担相应的赔偿责任。
四、预防与改进建议
- 推动物业建立完善的设施维护制度：业主可以建议物业定期对电梯等公共设施进行检查和维护，确保及时发现并解决问题。
- 建立应急响应机制：推动物业建立针对突发故障的应急响应机制，确保能够迅速采取措施进行处理。
- 加强业主参与和监督：鼓励业主积极参与小区管理，对物业的服务质量进行监督和建议，共同营造安全、舒适的生活环境。
总结来说，面对物业迟迟不修电梯的问题，业主应首先明确法律依据和物业责任，然后通过与物业沟通协商、向业主委员会反映、向相关部门投诉以及通过法律途径解决等多种方式来维护自己的合法权益。同时，业主也可以积极推动物业建立完善的设施维护制度和应急响应机制，以预防类似问题的再次发生。