结论：检察院不支持抗诉后，当事人依然享有申诉的权利，可以向作出生效裁判的人民法院或其上一级人民法院提出申诉，也可以继续向检察院反映诉求，申请检察监督。但申诉并不必然导致案件重新审理，需符合法定程序和条件。以下是对此问题的详细分析：
一、申诉的权利与重要性
在我国的司法救济体系中，申诉是当事人对已经发生法律效力的判决、裁定或决定不服时，向人民法院或人民检察院提出重新审查的一种重要法律手段。当检察院作出不支持抗诉的决定后，当事人若认为生效裁判存在错误，仍享有申诉的权利，这是维护自身合法权益的重要途径之一。
二、申诉的途径
向法院申诉：
- 当事人可以向作出生效判决、裁定的人民法院提出申诉，请求其对案件进行复查，以纠正可能存在的错误裁判。
- 在申诉时，需要提供新的证据或者充分的理由，证明原判决、裁定存在错误，如事实认定不清、适用法律错误等。例如，如果当事人发现了新的证人证言或物证，能够证明原判决中的关键事实存在错误，那么这些新证据就可以作为申诉的重要依据。
向检察院申诉：
- 尽管检察院已经作出不支持抗诉的决定，但当事人仍然有权向上一级人民检察院提出申诉。
- 在申诉时，需要详细说明不服抗诉决定的理由，并提供相关证据材料，如新发现的证据、原裁判存在的重大瑕疵等。例如，当事人可以指出原判决中存在的法律适用错误或程序违法问题，并提供相应的法律条文或案例作为支持。
三、申诉的注意事项
申诉时限：
- 当事人应当在法律规定的时限内提出申诉，以确保申诉的有效性。一般来说，申诉的时限为判决、裁定发生法律效力后的特定时间内（如六个月内或两年内，具体根据法律规定而定）。超过时限的，申诉将可能不被受理。
申诉材料：
- 当事人在申诉时，需要提交详细的申诉材料，包括申诉书、身份证明、相关证据等。
- 申诉书应当写明申诉的理由、请求和事实依据，确保内容清晰、准确、完整。例如，申诉书应当详细阐述当事人对原判决的不满之处，以及申诉的具体请求和理由。
遵循法律程序：
- 当事人在申诉过程中，应当严格遵循法律程序，配合法院或检察院的调查和审查工作。
- 如有需要，可以委托专业律师代理申诉事宜，以提高申诉的成功率。律师可以协助当事人准备申诉材料，提供法律咨询，并代表当事人与法院或检察院进行沟通。
四、申诉的结果与处理
- 申诉并不必然导致案件重新审理。法院或检察院会依据法定程序和条件对申诉进行审查，只有符合相应的再审或重新启动监督程序的标准时，才会对案件采取进一步行动。
- 如果申诉被接受并经审查确认原裁判存在错误，法院可能会启动再审程序；检察院也可能会重新审查并决定是否启动进一步的监督程序。例如，如果法院认为申诉理由成立，且原判决确实存在错误，那么法院就会裁定再审，并重新审理案件。
五、法律依据
- 根据《人民检察院刑事诉讼规则》第五百九十四条的规定，对不服人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的申诉，经两级人民检察院办理且省级人民检察院已经复查的，如果没有新的证据，人民检察院不再复查，但原审被告人可能被宣告无罪或者判决、裁定有其他重大错误可能的除外。这一规定为当事人申诉提供了法律保障，同时也明确了申诉的条件和限制。
综上所述，即使检察院不支持抗诉，当事人仍然可以通过申诉的方式维护自己的合法权益。在申诉过程中，应当注意申诉时限、准备充分的申诉材料，并严格遵循法律程序进行。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。