结论：针对您家树根可能拱裂对方后墙引发的纠纷，您需要先确认侵权事实是否存在，再根据不同情况采取相应措施。以下从多个角度为您详细分析：
一、确认侵权事实
现场勘查：
- 首先，您可以与对方一起对现场进行勘查，确认树根是否确实对对方后墙造成了损害，以及损害的程度。
- 如果可能，可以拍摄照片或视频作为证据，以便后续处理。
专业评估：
- 如果双方对损害程度存在争议，可以邀请专业的房屋鉴定机构或林业专家进行评估，出具书面报告。
- 评估报告将作为判断侵权事实是否存在以及损害程度的重要依据。
二、侵权事实存在时的处理
协商赔偿：
- 如果确认树根确实对对方后墙造成了损害，且损害程度较为严重，您可以与对方协商赔偿事宜。
- 赔偿范围可以包括修复后墙的费用、因修复产生的其他合理费用（如临时住宿费用）等。
- 在协商过程中，您可以提出合理的赔偿方案，并尽量与对方达成一致。
移除树木：
- 如果对方坚持要求移除树木，且您认为移除树木是合理的解决方案，您可以考虑移除树木。
- 在移除树木前，建议您与对方签订书面协议，明确移除树木的责任、费用以及后续可能产生的纠纷处理方式等。
- 如果您认为移除树木不是必要的或合理的解决方案，您可以拒绝移除，并建议对方通过法律途径解决纠纷。
法律途径：
- 如果双方无法就赔偿或移除树木等事宜达成一致，对方可能会选择通过法律途径解决纠纷。
- 在此情况下，您需要积极应对，准备相关证据材料，如现场照片、视频、评估报告等，以证明您的立场和主张。
- 您也可以咨询专业律师（即我），了解您的法律权利和义务，以及可能面临的法律后果和应对策略。
三、侵权事实不存在或存在争议时的处理
提供反证：
- 如果您认为树根并未对对方后墙造成损害，或者损害程度并不严重，您可以提供反证来支持您的观点。
- 反证可以包括现场照片、视频、证人证言等，以证明对方的主张不成立或存在夸大成分。
申请鉴定或调解：
- 如果双方对侵权事实存在争议，且无法自行协商解决，您可以申请专业的房屋鉴定机构或林业专家进行鉴定，以明确侵权事实是否存在以及损害程度。
- 您也可以寻求第三方调解机构的帮助，通过调解的方式解决纠纷。调解机构可以包括社区调解委员会、人民调解委员会等。
四、预防措施与建议
定期检查：
- 为了避免类似纠纷的再次发生，建议您定期检查您家树木的生长情况，特别是树根是否可能对周边建筑物造成损害。
合理修剪：
- 如果发现树根有向周边建筑物蔓延的趋势，您可以及时对树木进行合理修剪，以控制树根的生长范围。
加强沟通：
- 与周边邻居保持良好的沟通关系，及时了解他们的需求和关切，共同维护和谐的邻里环境。
最后，针对此类纠纷，关键在于确认侵权事实是否存在以及损害程度如何。如果确实存在侵权事实且损害程度较为严重，您需要积极与对方协商赔偿或移除树木等事宜；如果侵权事实不存在或存在争议，您需要提供反证或申请鉴定来支持您的观点。在任何情况下，保持冷静和理性都是解决纠纷的关键。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。