结论：对方是否需要赔礼道歉，取决于其行为是否构成侵权以及侵权的性质和后果。若其行为构成侵权且给您造成了损害，您有权要求其赔礼道歉并赔偿损失；若其行为不构成侵权，则您可能无法直接要求其赔礼道歉，但可以通过协商、调解等方式解决纠纷。

分析：

1. 树木所有权与相邻权：

   • 您栽种了40多年的大树，通常意味着您对该树木拥有所有权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，所有权人对自己的不动产或者动产，依法享有占有、使用、收益和处分的权利。
   • 然而，当您的树木影响到他人的相邻权时，如遮挡阳光、影响通风等，相邻方有权要求您采取合理措施排除妨碍。但砍伐树木通常不是首选的解决方式，除非树木确实对相邻方造成了严重妨碍且无法通过其他方式解决。

2. 对方行为的合法性：

   • 对方声称大树对他不利并要求砍伐，这并不直接构成其砍伐树木的合法理由。除非他能证明树木确实对其造成了严重妨碍，并且砍伐是唯一合理的解决方式，否则他的行为可能构成侵权。
   • 如果对方未经您同意擅自砍伐您的树木，这明显侵犯了您的财产权，您有权要求其赔偿损失，并可能要求其赔礼道歉。

3. 赔礼道歉的法律依据：

   • 赔礼道歉通常作为民事侵权责任的一种承担方式，适用于因侵权行为给对方造成精神损害或名誉损害的情况。
   • 在本案例中，如果对方的行为确实构成了侵权，并且给您造成了精神上的困扰或名誉上的损害，您有权要求其赔礼道歉。

4. 解决纠纷的建议：

   • 协商：首先，您可以尝试与对方进行协商，了解他的具体诉求和担忧，并寻求双方都能接受的解决方案。
   • 调解：如果协商无果，您可以考虑寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会或人民调解组织等，以促成双方达成和解。
   • 诉讼：如果调解也无果，并且您认为对方的行为确实构成了侵权，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担侵权责任，包括赔偿损失和赔礼道歉等。

后续行动建议：

• 在采取任何行动之前，建议您先收集相关证据，如树木的照片、对方要求砍伐的书面或录音证据等，以证明您的权益和对方的行为。
• 如果您不确定如何收集证据或如何维护自己的权益，您可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。