核心结论：未签劳动合同被私企辞退，您有权要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金（若用人单位属于违法解除）。以下是详细说明：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 计算方式：双倍工资差额的计算基数通常是您实际获得的工资收入，包括基本工资、奖金、津贴等。计算期限是从用工满一个月的次日起，至补订书面劳动合同的前一日或者至劳动关系解除之日止，但最长不超过十一个月。例如，您在私企工作了八个月且未签劳动合同，那么用人单位需要向您支付七个月的双倍工资差额。
   • 申请流程：您可以先与用人单位协商，要求其支付双倍工资差额。如果协商不成，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书、您的身份证明、与用人单位存在劳动关系的证据（如工资支付凭证、工作证、考勤记录等）以及其他相关证据材料。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金

   • 判断是否违法解除：用人单位解除劳动合同必须符合法律规定的情形和程序。如果用人单位无法提供合法有效的解除理由，或者解除程序违反法律规定，那么就属于违法解除劳动合同。例如，用人单位以您“不符合录用条件”为由解除劳动合同，但无法提供相应的证据证明您确实不符合录用条件，那么这种解除就是违法的。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 计算方式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。赔偿金则是经济补偿标准的二倍。例如，您在私企工作了两年三个月，那么经济补偿为两个半月的工资，赔偿金就是五个月的工资。
   • 申请流程：同样，您可以先与用人单位协商，要求其支付赔偿金。协商不成的话，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁申请中，需要明确提出用人单位违法解除劳动合同的事实和理由，并提供相关证据予以证明。

温馨提示：在处理这类劳动争议时，证据的收集和保存非常重要。您要尽可能收集与用人单位存在劳动关系以及用人单位违法解除劳动合同的相关证据，如工资条、工作记录、解除劳动合同的通知等。如果您在申请补偿的过程中遇到任何问题，都可以随时向我咨询。