核心结论：当天通知当天辞退员工的赔偿问题，需根据辞退的合法性及具体情形来判断，具体如下：
若辞退合法：
- 无需支付赔偿金：如果用人单位能够证明员工的辞退是基于合法理由，如员工严重违反公司规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等，且这些理由符合《劳动合同法》的相关规定，那么用人单位在当天通知并辞退员工时，无需支付赔偿金。但需注意，用人单位需承担举证责任，证明辞退的合法性。
- 支付代通知金不适用：在合法辞退的情况下，由于辞退行为本身具有合法性，因此不存在需要支付代通知金（即提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付一个月工资）的情形。
若辞退违法：
- 支付赔偿金：如果用人单位无法证明辞退的合法性，或者辞退行为违反了《劳动合同法》的相关规定，如无正当理由辞退、未按照法定程序辞退等，那么用人单位需要向员工支付赔偿金。赔偿金的计算标准为：按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。同时，由于用人单位未提前三十日通知员工，还可能需要额外支付一个月工资作为代通知金（但这一要求并非所有违法辞退情形下都适用，需根据具体情况判断）。不过，在司法实践中，对于违法辞退，通常更侧重于赔偿金的支付，而代通知金的支付则取决于具体案情和法院的裁判。
- 特殊情形下的赔偿：如果员工的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
额外建议：
- 保留证据：无论是用人单位还是员工，在面临辞退问题时，都应保留好相关证据，如劳动合同、辞退通知、工资单、考勤记录等，以便在发生争议时能够证明自己的主张。
- 协商解决：在可能的情况下，双方可以尝试通过协商来解决争议，以避免不必要的法律纠纷和成本。
- 寻求法律帮助：如果双方无法就辞退赔偿问题达成一致，或者对辞退的合法性存在争议，建议及时寻求专业的法律帮助，以维护自己的合法权益。
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