劳动合同自然到期终止后，公司是否需要支付赔偿（经济补偿），主要取决于具体的终止情形及法律规定。以下是对这一问题的详细分析：
一、公司需支付经济补偿的情形
公司主动提出不续签劳动合同：
- 当劳动合同期满，公司明确表示不再与劳动者续签合同时，公司需要向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
公司提出续签但降低了原来的劳动合同约定条件：
- 如果公司提出续签劳动合同，但降低了原来的劳动合同约定条件（如降低工资、减少福利等），导致劳动者不同意续签的，公司也需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式同上。
公司被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散：
- 在这些情形下，劳动合同随之终止，公司需向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式同样按照劳动者在本单位工作的年限和月工资标准进行。
二、公司无需支付经济补偿的情形
公司维持或提高劳动合同约定条件续订，而劳动者不同意续订：
- 如果公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者因个人原因（如找到了更好的工作机会等）不同意续订的，公司无需支付经济补偿。
劳动者开始依法享受基本养老保险待遇：
- 劳动者达到法定退休年龄并开始享受养老保险待遇时，劳动合同自然终止。此时，公司无需支付经济补偿。
劳动者死亡、被宣告死亡或宣告失踪：
- 在这些特殊情况下，劳动合同的一方主体消失，合同自然终止。由于并非公司的过错导致合同终止，因此公司无需支付经济补偿。
三、实际操作建议
- 提前沟通：为了避免因合同到期而产生的纠纷，建议公司和劳动者在合同即将到期前进行充分的沟通，明确双方的意愿和条件。
- 明确续约条件：如果双方有续签的意向，应尽早协商并签订新的劳动合同，明确续约条件，以避免后续争议。
- 保留证据：在合同到期终止或续签过程中，双方应保留好相关证据（如续签意向书、工资单等），以备不时之需。
总结来说，劳动合同自然到期终止后，公司是否需要支付经济补偿，取决于具体的终止情形及法律规定。如果公司因特定原因（如合同期满不续签、企业破产等）导致劳动合同终止，通常需支付经济补偿；如果劳动合同因劳动者个人原因（如合同期满拒绝续签、享受养老保险待遇等）或双方约定条件达成而终止，则公司无需支付经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。