结论前置：在租赁公司将个人名下的车辆出租给个人后发生交通事故的情况下，承租人是否应当承担赔偿责任，主要取决于事故的具体情况、租赁合同的约定以及相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细分析：

1. 租赁合同中的责任划分

   • 合同明确约定：如果租赁合同中明确规定了车辆在租赁期间发生事故时的赔偿责任归属，那么双方应严格按照合同约定执行。例如，合同可能明确规定由承租人承担全部或部分赔偿责任，或者在某些特定情况下由出租人（即租赁公司）承担责任。
   • 合同未明确约定：若租赁合同中没有明确规定事故责任的划分，则需要根据实际情况和相关法律法规来判断。

2. 事故责任的认定

   • 承租人责任：在大多数情况下，如果承租人在驾驶过程中因自身过错导致事故发生，如违反交通规则、酒驾、疲劳驾驶等，那么承租人应承担相应的赔偿责任。这包括赔偿受害者的损失，以及可能面临的法律责任和保险理赔问题。
   • 出租人责任：如果事故是由于车辆本身的问题导致的，如车辆存在安全隐患或故障，且出租人（租赁公司）未尽到合理的检查和维护义务，那么出租人可能需要承担一定的赔偿责任。此外，如果出租人在租赁过程中存在过错，如明知承租人无驾驶资格仍出租车辆，也可能需要承担责任。
   • 第三方责任：如果事故是由第三方造成的，如其他车辆的驾驶员或行人，那么赔偿责任应由第三方承担。在这种情况下，承租人和出租人可以协助受害者向第三方追偿。

3. 法律法规的规定

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条的规定，因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人（即承租人）承担赔偿责任；机动车所有人、管理人（即出租人）对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。

4. 保险理赔

   • 如果车辆投保了交强险和商业险，那么在事故发生后，应首先通过保险进行理赔。保险公司会根据保险合同的约定承担相应的赔偿责任。但需要注意的是，如果承租人存在酒驾、毒驾等违法行为，保险公司可能会拒绝理赔。

法律建议：

• 对于承租人：在租赁车辆时，应仔细阅读租赁合同，了解事故责任的划分和保险理赔的相关规定。在驾驶过程中，应遵守交通规则，确保行车安全。如果发生事故，应立即停车并报警，保护现场，等待交警到来处理，并及时通知出租人和保险公司。
• 对于出租人（租赁公司）：在出租车辆前，应对车辆进行全面的检查和维护，确保车辆不存在安全隐患。同时，应仔细核查承租人的驾驶资格和信用状况，避免将车辆出租给无驾驶资格或信用不良的人。在租赁合同中，应明确约定事故责任的划分和保险理赔的相关规定，以减少纠纷的发生。

后续处理：

• 当租赁车辆发生交通事故时，承租人应立即保护现场，不得逃逸，并尽快通知交管部门和出租方。
• 交警部门会根据事故现场勘验和调查结果，依据交通法规作出责任认定。
• 根据责任认定书，首先由交强险进行赔偿；不足部分，由有过错方承担。若承租人有责任，则由承租人承担赔偿责任；若出租人对损害的发生有过错（如上述特殊情况），也需承担相应的赔偿责任。

综上所述，承租人在租赁车辆发生交通事故时是否应当承担赔偿责任，取决于多个因素的综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。