结论：劳动合同期满时，若劳动者因患病无法工作且处于医疗期内，用人单位不续签劳动合同通常是不合法的，劳动者有权要求赔偿；若医疗期已满且劳动者不能从事原工作或另行安排的工作，用人单位不续签则需支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内的处理
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且劳动合同应续延至医疗期满。
- 医疗期的期限根据劳动者的工作年限决定，具体参照《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》。
具体分析：
- 若劳动合同期满时劳动者仍在医疗期内，用人单位无权以“合同到期”为由终止劳动关系或拒绝续签。此时，劳动合同应自动延续至医疗期满。
- 若用人单位在医疗期内强行终止合同或拒绝续签，属于违法解除。劳动者有权要求继续履行合同，或主张双倍经济补偿金（即赔偿金）。
赔偿计算：
- 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金则是经济补偿的两倍。
二、医疗期届满后的处理
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满即终止。但第四十六条规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则用人单位应向劳动者支付经济补偿。
具体分析：
- 医疗期届满后，若劳动者能够正常工作但用人单位决定不续签合同，用人单位应支付经济补偿。
- 若经鉴定劳动者不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，但仍需支付经济补偿。
经济补偿计算：
- 与医疗期内的经济补偿计算方式相同，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
三、特殊情况
- 若用人单位提出维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订，则用人单位无需支付经济补偿。因为在此情况下，用人单位已尽到提供合理条件的义务，是劳动者自身选择不续签。
四、建议与行动
确认医疗期状态：
- 劳动者应核对自身医疗期是否已结束，并保留病假证明、诊断记录等材料作为证据。
与公司协商沟通：
- 主动提出续签请求，明确引用法律条款说明权益，尝试通过协商解决问题。
申请劳动仲裁或诉讼：
- 若协商未果，可向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁，要求恢复劳动关系或支付赔偿金。需注意仲裁时效为一年。
保留证据：
- 保存所有与病情、医疗期、合同到期相关的书面材料，包括病历、诊断书、劳动合同、公司通知等，这是维权的关键。
作为林继华律师，我建议你在面对此类问题时，应充分了解自己的权益，并依法维护自身合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。