结论前置：劳动合同到期后，若您仍处于法定医疗期内，单位不续签属于违法解除劳动合同，应支付双倍经济补偿金；若医疗期已届满，单位不续签则需支付正常的经济补偿金。同时，病假期间的工资及福利待遇应依法保障。以下是详细分析：
一、法定医疗期内的合同续签与赔偿
处理原则：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，员工在法定医疗期内，劳动合同应自动顺延至医疗期结束。此时，若单位不续签劳动合同，则视为违法解除劳动合同。
赔偿标准：
- 单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资的计算依据为劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
举例说明：
假设您在单位工作了5年，月工资为8000元，且处于法定医疗期内。若单位此时不续签劳动合同，则应支付您双倍经济补偿金，即5年×8000元/月×2=80000元。
二、法定医疗期届满后的合同续签与赔偿
处理原则：
- 若您法定医疗期已经届满，单位决定不续签劳动合同，则此时需按照正常规定支付经济补偿金。
赔偿标准：
- 支付标准与上述经济补偿计算标准相同，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
举例说明：
同样假设您在单位工作了5年，月工资为8000元，但医疗期已届满。若单位此时不续签劳动合同，则应支付您正常的经济补偿金，即5年×8000元/月=40000元。
三、病假期间的工资及福利待遇
病假工资：
- 病假期间，单位应按照法律规定支付病假工资。一般来说，病假工资不得低于当地最低工资标准的80%。具体支付比例可能因地方政策而异，且可能会根据员工的工作年限等因素进行调整。
福利待遇：
- 在病假期间，您的社保、公积金等福利待遇单位应正常缴纳，不得因合同到期不续签而中断。如单位存在未依法缴纳社保等情况，您有权要求单位补缴相应期间的社保费用。
四、您的应对建议
明确自身权益：
- 您应了解自身所处情况，明确单位应承担的责任，以及自身应享有的权益。
与公司协商：
- 尝试与公司就经济补偿、离职手续办理等相关事宜进行友好协商，争取达成双方都能接受的协议。
法律途径维权：
- 若协商不成，您可准备好相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、医疗证明等），先向劳动监察部门投诉，然后向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。
综上所述，劳动合同到期后因生病医疗期结束后单位不续签的赔偿问题需根据您是否处于法定医疗期内来确定赔偿标准和方式。您应依法维护自身合法权益，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。