结论：在工伤事件中，虽然法律没有强制规定公司必须第一时间垫付医疗费，但基于《工伤保险条例》的精神及对劳动者的保护原则，公司有责任及时采取措施使工伤职工得到救治，这通常包括垫付医疗费等费用。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据与垫付责任
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》等法律法规，单位应当及时采取措施使工伤职工得到救治。这实际上隐含了用人单位在工伤发生后应积极协助并垫付医疗费用的责任，以确保受伤职工能够及时获得医疗救治。
垫付责任：
- 用人单位垫付：工伤发生后，用人单位有责任先行垫付医疗费用。这是基于对劳动者的保护义务和工伤保险制度的内在要求。特别是在紧急情况下，若职工急需进行救治而医疗机构因费用问题存在顾虑，单位更应积极垫付，以确保职工能够得到及时有效的治疗。
- 工伤保险基金支付与追偿：如果用人单位参加了工伤保险，垫付的费用后续可从工伤保险基金中得到报销。若用人单位未依法缴纳工伤保险费，工伤保险基金将先行支付工伤医疗费用，并有权向用人单位追偿。工伤由第三人原因造成的，第三人不支付或无法确定时，工伤保险基金同样先行支付并有权追偿。
二、特殊情况与处理
- 地区政策差异：部分地区可能有相关政策或地方法规，对用人单位垫付医药费作出具体要求。因此，在实际操作中，除了遵循国家层面的法律法规外，还需考虑地方规定，以确保合规性。
- 职工自行垫付与追偿：在紧急情况下，若用人单位拒绝垫付且工伤保险基金无法及时介入，职工可能需要自行垫付医药费。但务必保存好相关医疗费用票据等证据，以便后续通过法律途径要求用人单位或工伤保险基金承担相应费用。
三、维权途径
若单位未按规定垫付医药费，工伤职工或其近亲属可通过以下法律途径维护权益：
- 向劳动监察部门投诉：首先可向当地劳动监察部门投诉用人单位的违法行为，要求其履行垫付义务。
- 申请劳动仲裁：投诉无果后，可向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付垫付的医药费。
- 提起诉讼：若劳动仲裁未能解决争议，还可向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护合法权益。
四、实际操作建议
- 及时沟通：工伤发生后，用人单位应与工伤职工及其家属保持及时沟通，了解治疗进展和费用情况，积极协商垫付事宜。
- 保留证据：无论是用人单位还是工伤职工，在垫付或自行支付医疗费用时，都应妥善保留相关票据和证据，以便后续报销或追偿。
- 关注政策动态：由于地区政策可能存在差异，用人单位和工伤职工都应关注当地政策动态，确保合规操作。
总结：虽然法律没有明确规定公司必须第一时间垫付工伤医疗费，但基于保护劳动者权益的原则和实际操作中的通常做法，公司有责任及时采取措施确保工伤职工得到救治。若公司未履行此责任，工伤职工及其近亲属可依法通过多种途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。