结论：第一个月上班没有公休通常是不合法的，这违反了我国劳动法中关于工时制度和休息休假的相关规定。
法律背景与详细分析
工时制度与休息休假：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三十六条，国家实行劳动者每日工作时间不超过八小时、平均每周工作时间不超过四十四小时的工时制度。这一规定旨在保障劳动者的基本休息权益，避免过度劳累。
- 同时，该法第三十八条明确规定，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。这意味着，在任何连续的工作周期内，劳动者都应享有至少一天的休息时间。因此，第一个月上班没有公休明显违反了这一强制性规定。
加班的限制：
- 即使因生产经营需要安排加班，也需严格遵守《劳动法》第四十一条的规定，即与工会和劳动者协商，且一般每日不得超过一小时；特殊情况下延长工作时间每日不得超过三小时，但每月不得超过三十六小时。
- 第一个月上班没有公休，往往意味着劳动者在整个月内都没有得到充分的休息，这远远超出了法定的加班时长限制，严重侵犯了劳动者的合法权益。
可能的法律后果与劳动者权利
法律后果：
- 用人单位若违反劳动法规定，不安排劳动者休息休假，可能面临劳动保障行政部门的警告、责令限期改正，并可能处以罚款等行政处罚。
劳动者权利：
- 劳动者有权要求用人单位按照法律规定保障其休息休假权利，并对超出法定工作时间和加班时长的工作支付相应的加班费。
- 劳动者还有权查阅自己的劳动合同，了解并维护自己的合法权益。若劳动合同中的规定与法律法规相悖，劳动者有权要求纠正。
劳动者应采取的行动
与用人单位协商：
- 劳动者首先应与用人单位进行协商，要求其合理安排休息时间，并支付加班费。这是最直接、最有效的解决方式。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商不成，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并保障劳动者的合法权益。
申请劳动争议仲裁：
- 劳动者还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。通过法律途径维护自己的合法权益，包括要求用人单位支付加班费、给予相应补偿等。
举例说明
假设某劳动者在第一个月内天天上班，没有得到任何休息日。这种情况下，劳动者可以首先与用人单位沟通，要求安排休息日并支付加班费。若用人单位拒绝或未给予合理回应，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
总结与建议：第一个月上班没有公休是不合法的，劳动者应了解自己的合法权益，并在必要时采取适当的行动来维护这些权益。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议和帮助。