当公司与员工解除劳动合同到期关系时，赔偿方式和标准主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来确定。以下是对这一问题的详细解答：

一、合法解除劳动合同到期关系的赔偿情况

1. 劳动合同期满公司不续签：

   • 根据《劳动合同法》第四十六条，除非公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工拒绝，否则公司应支付经济补偿金。
   • 经济补偿金按员工在本单位的工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的支付半个月工资。
   • 月工资指合同解除前12个月的平均工资，若高于当地职工月平均工资3倍的，按3倍计算，且补偿年限最高不超过12年。

2. 公司主体资格丧失（如破产）：

   • 若因公司破产、重整等原因导致劳动合同终止，公司同样需支付经济补偿金，标准与上述相同。

二、违法解除劳动合同到期关系的赔偿情况

• 若公司无正当理由单方面解除劳动合同（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法解除。
• 违法解除时，公司需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金，即每满一年支付2个月工资。

三、特殊情形下的赔偿处理

1. 代通知金：

   • 若公司未提前30日书面通知员工解除合同，需额外支付1个月工资作为代通知金。但这一规定主要适用于无过失性辞退和经济性裁员等情况，在劳动合同期满不续签的情形下，通常不涉及代通知金的问题，除非双方有特别约定或地方性法规有特别规定。

2. 未休年假补偿：

   • 若员工在合同期内有未休年假，公司应按日工资的300%支付未休年假工资报酬（含已支付的正常工资）。

3. 竞业限制补偿：

   • 若双方约定了竞业限制条款，公司在员工离职后需按月支付不低于最低工资的经济补偿。

四、补偿程序与注意事项

1. 协商：

   • 公司在决定不续签劳动合同后，应首先与员工进行协商，说明不续签的原因及补偿方案。

2. 支付经济补偿金：

   • 经协商一致或依法确定应支付经济补偿金的，公司应在规定时间内（如劳动合同终止之日起一个月内）向员工支付。

3. 办理离职手续：

   • 公司还应协助员工办理离职手续，包括工作交接、社保转移等。

4. 保留证据：

   • 双方应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、解除劳动合同通知书等，以备不时之需。

综上所述，当公司与员工解除劳动合同到期关系时，赔偿方式和标准主要取决于解除合同的原因和双方的具体约定。公司应严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到保障。如有任何疑问或争议，建议咨询专业律师或劳动仲裁机构以获取更具体的法律建议。