结论前置：体制内产假期间调动，是否需要到新单位请假，需根据具体情况判断，但原则上应向新单位履行请假手续，以确保产假期间的权益不受影响。以下从不同角度详细分析：
一、产假期间的法律性质与单位调动的影响
产假是女职工依法享有的特殊假期，旨在保障其生育期间的身体健康和恢复。根据《女职工劳动保护特别规定》等相关法律法规，产假期间女职工的工资、福利待遇等应得到保障，且单位不得因其生育而降低其工资、予以辞退、与其解除劳动或者聘用合同。
当女职工在产假期间被调动至新单位时，其产假期间的权益并不因单位调动而自动终止或改变。新单位作为接收方，应继续承担保障女职工产假期间权益的责任。因此，从法律层面讲，女职工应向新单位履行请假手续，以明确产假期间的权益和责任归属。
二、请假手续的具体操作与注意事项
与原单位沟通：在调动前，女职工应与原单位沟通，了解调动对产假的影响，并确认原单位是否已将产假相关手续（如产假证明、工资发放记录等）转交至新单位。
向新单位请假：调动至新单位后，女职工应及时向新单位提交产假请假申请，并提供相关证明材料（如医院出具的产假证明、原单位出具的调动证明等）。新单位在审核通过后，应继续支付产假工资或生育津贴，并保障女职工的其他合法权益。
关注请假期限与续假：女职工应关注产假期限，确保在产假结束前及时返回工作岗位或办理续假手续。如需延长产假，应提前向新单位申请并获得批准。
三、未履行请假手续的可能后果
如果女职工在产假期间调动后未向新单位履行请假手续，可能会面临以下后果：
工资与福利待遇受影响：新单位可能因未收到请假申请而停止支付产假工资或生育津贴，导致女职工的经济利益受损。
劳动关系风险：长期未履行请假手续且未返回工作岗位的，新单位可能依据相关规定解除与女职工的劳动关系，给女职工带来不必要的麻烦和损失。
四、特殊情况下的处理建议
调动与产假重叠期较短：如果调动与产假重叠期较短（如仅几天或一周），且原单位已明确表示将继续支付产假工资至产假结束，女职工可与新单位沟通并说明情况，看是否可以简化请假手续或后续补办。
新单位拒绝履行义务：如果新单位拒绝履行保障女职工产假期间权益的义务，女职工可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
最后建议：体制内产假期间调动时，女职工应务必向新单位履行请假手续，以确保产假期间的权益不受影响。如有任何疑问或遇到困难，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。