结论：私人企业合同到期不续签，员工想继续留下来工作，这种情况下员工通常不能强制要求企业续签合同，但可以通过沟通协商、了解企业不续签原因并针对性解决、关注自身权益保障等方式来应对。以下是具体分析：

1. 从合同性质和法律规定角度
   • 劳动合同到期意味着双方约定的劳动关系期限届满。根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止。也就是说，企业有权选择不续签合同，员工不能单方面强制要求企业续签。
   • 不过，如果存在一些特殊情况，比如员工在该企业连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的；或者员工处于孕期、产期、哺乳期等特殊生理时期，企业一般不能随意不续签合同。如果企业违反规定不续签，员工可以通过法律途径维护自己的权益。
2. 从沟通协商角度
   • 员工可以主动与企业进行沟通，表达自己希望继续留在企业工作的意愿。在沟通中，了解企业不续签合同的具体原因。如果是因为企业经营状况不佳、岗位调整等客观原因，员工可以尝试提出一些解决方案，比如接受岗位调整、适当降低薪资要求等，以增加企业续签合同的可能性。
   • 例如，企业可能因为业务转型，原岗位不再需要，但有新的相关岗位空缺。员工可以表示愿意接受培训，适应新岗位的工作要求，从而争取续签合同。
3. 从权益保障角度
   • 如果企业最终决定不续签合同，员工要关注自身的权益保障。根据法律规定，企业应当向员工支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 员工要注意收集和保存与企业存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以便在与企业发生纠纷时，能够维护自己的合法权益。如果企业对经济补偿的支付存在争议，员工可以通过劳动仲裁等法律途径解决。

建议：员工可以先尝试与企业友好沟通，了解不续签的原因并积极寻求解决办法。如果沟通无果，要关注自身权益，及时收集证据，必要时通过法律途径维护自己的合法权益。如果你还有其他关于劳动法律方面的问题，欢迎随时向我咨询。