在判决共同支付的情况下，一方支付后确实享有追偿权。以下是对这一问题的详细分析：
一、追偿权的法律依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当两个或两个以上的债务人共同对债权人承担债务时，如果其中一人或数人已经履行了全部或部分债务，那么他们有权向其他未履行或未完全履行债务的债务人进行追偿。这一规定体现了公平原则，确保了债务人之间在承担债务时的平等性。
二、追偿权的行使条件
- 共同债务的存在：首先，必须存在共同债务，即两个或两个以上的债务人共同对债权人承担债务。这是追偿权行使的前提条件。
- 一方已履行债务：其次，必须有一方或数方已经履行了全部或部分债务。如果所有债务人都未履行债务，那么就不存在追偿的问题。
- 追偿权的行使对象：追偿权只能向其他未履行或未完全履行债务的债务人行使。如果某个债务人已经履行了其应承担的债务份额，那么他就不是追偿权的行使对象。
三、追偿权的行使方式
- 协商：在行使追偿权时，债务人之间可以首先尝试通过协商的方式解决。这有助于维护债务人之间的良好关系，并降低诉讼成本。
- 诉讼：如果协商无果，那么已经履行债务的债务人可以向法院提起诉讼，要求其他未履行或未完全履行债务的债务人承担其应承担的债务份额。在诉讼过程中，法院将根据相关证据和法律规定进行裁决。
四、追偿权的注意事项
- 及时行使：追偿权并非无限期存在，债务人应在合理期限内行使追偿权，以免丧失权利。具体来说，如果债务人之间有约定追偿期限的，应在约定期限内行使；没有约定的，则应在知道或应当知道其享有追偿权之日起一定期限内行使（具体期限可能因地区或具体案件而有所不同，建议咨询专业律师以获取准确信息）。
- 保留证据：在行使追偿权时，债务人应保留好相关证据，如共同债务的合同、履行债务的凭证等。这些证据将有助于证明债务人之间的共同债务关系以及已履行债务的事实。
- 考虑其他债务人的偿债能力：在行使追偿权前，债务人应考虑其他债务人的偿债能力。如果其他债务人确实无力偿还债务，那么即使提起诉讼也可能无法获得实际赔偿。在这种情况下，债务人可以考虑与其他债务人协商制定还款计划或寻求其他解决方案。
举例说明：假设甲、乙两人共同向丙借款10万元，并约定共同偿还。后来，甲独自偿还了全部借款。在这种情况下，甲就有权向乙追偿其应承担的债务份额（即5万元）。如果乙拒绝偿还，甲可以向法院提起诉讼要求乙承担其应承担的债务份额。
总结与建议：在判决共同支付的情况下，一方支付后确实享有追偿权。为了确保追偿权的顺利行使，债务人应了解相关法律规定和行使条件，并在合理期限内保留好相关证据。如果遇到复杂情况或争议，建议及时咨询专业律师以获取准确和全面的法律建议。