结论：公司不与职工签合同，并不直接决定能否启动竞业限制。能否启动竞业限制主要取决于双方是否存在有效的竞业限制协议以及该协议的具体内容。

分析：

1. 竞业限制协议的基础：

   • 竞业限制通常基于双方签订的书面协议。这份协议会明确约定职工在离职后一定期限内不得在与原公司有竞争关系的单位工作或从事相关业务，以及公司需支付的经济补偿等条款。
   • 若公司未与职工签订劳动合同，但双方存在事实劳动关系，且已就竞业限制达成书面或口头协议（尽管口头协议在举证上可能存在困难），理论上仍可能受竞业限制条款的约束。然而，口头协议在实际操作中往往难以证明，因此建议双方尽量签订书面协议。

2. 未签劳动合同的影响：

   • 未签劳动合同主要影响的是职工的劳动权益保护，如工资支付、社会保险缴纳、工伤赔偿等。它并不直接决定竞业限制协议的效力。
   • 但若因公司未签劳动合同导致职工在离职时主张未签合同的双倍工资等权益，这可能会间接影响职工对竞业限制协议的态度和执行意愿。

3. 竞业限制的启动条件：

   • 竞业限制的启动通常需要满足两个条件：一是存在有效的竞业限制协议；二是职工离职后从事了与原公司有竞争关系的业务或工作。
   • 若公司希望启动竞业限制，应首先确认与职工之间是否存在有效的竞业限制协议，并确保该协议的内容合法、合理。

4. 法律建议：

   • 对于公司而言，应尽快与职工补签劳动合同，并明确竞业限制条款，以避免未来可能出现的法律纠纷。
   • 对于职工而言，若公司未签劳动合同但要求执行竞业限制，应仔细审查竞业限制协议的内容，确保自己的权益不受侵害。若对协议内容有异议或认为公司未履行相关义务（如支付经济补偿），可寻求法律帮助。

可能后果：

• 若公司未与职工签订竞业限制协议却要求职工遵守竞业限制义务，职工有权拒绝，且公司可能无法通过法律手段强制执行。
• 若双方存在有效的竞业限制协议但公司未支付经济补偿，职工有权解除竞业限制协议或要求公司支付经济补偿及可能的违约金。

进一步行动建议：

• 若您或您的公司面临此类问题，建议直接向我咨询，提供更详细的情况描述，以便我能给出更具体、更准确的法律建议。