结论前置：未签订劳动合同的情况下开除员工，用人单位需要满足一定的条件并承担相应的法律责任。具体来说，这主要涉及到未签劳动合同的法律后果以及合法解除劳动关系的条件。
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果用人单位在员工入职后一个月内未与其签订劳动合同，那么从第二个月开始，用人单位需要支付双倍工资作为赔偿。
二、合法解除劳动关系的条件
即使未签订劳动合同，用人单位也不能随意开除员工。合法解除劳动关系需要满足以下条件之一：
协商一致解除：用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方需要就解除劳动合同的相关事宜达成一致意见，并签订书面协议。
劳动者过错解除：如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等过错行为，用人单位可以解除劳动合同。但需要注意的是，用人单位需要承担举证责任，证明劳动者的过错行为确实存在且达到解除劳动合同的程度。
经济性裁员：在符合法律规定的情形下，如用人单位生产经营发生严重困难等，用人单位可以进行经济性裁员。但经济性裁员需要遵循严格的法律程序，包括提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、报告劳动行政部门等。
其他法定情形：如劳动者被依法追究刑事责任等，用人单位也可以解除劳动合同。
三、未签劳动合同下开除员工的特殊考虑
在未签订劳动合同的情况下开除员工，用人单位除了需要满足上述合法解除劳动关系的条件外，还需要特别注意以下几点：
举证责任：由于未签订劳动合同，用人单位在证明劳动者存在过错行为或符合经济性裁员条件时，可能面临更大的举证难度。因此，用人单位需要更加注重收集和保存相关证据。
双倍工资赔偿：如前所述，未签订劳动合同的情况下，用人单位需要支付双倍工资作为赔偿。如果用人单位在开除员工时未支付这部分赔偿，员工有权通过法律途径追讨。
违法解除的赔偿：如果用人单位无法证明其开除员工的行为是合法的，那么员工有权要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算标准通常为经济补偿金的两倍。
建议：为了避免法律风险，用人单位应尽快与员工签订书面劳动合同，并确保合同内容合法、有效。如果确实需要开除员工，用人单位应确保解除行为符合法律规定，并妥善处理相关事宜，如支付经济补偿金、办理离职手续等。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。