结论：在相邻纠纷案件中，若您因忘记与证人录音并在一审中未提交该证据，判决后不服，您确实有权提交二审，但能否因该新证据改判需视具体情况而定。
详细分析：
二审的提交权利：
- 根据我国《民事诉讼法》的相关规定，当事人对一审判决不服的，有权在法定期限内向上一级人民法院提起上诉，启动二审程序。因此，您完全有权就相邻纠纷案件的一审判决提交二审。
新证据的提交与认定：
- 在二审中，您可以提交新的证据，包括之前忘记的与证人的录音等。然而，新证据的提交并不意味着二审法院一定会采纳并据此改判。
- 二审法院会对新证据进行审查，判断其是否具有真实性、合法性和关联性，以及是否足以推翻一审判决。如果录音证据能够证明一审判决存在错误或遗漏，且该证据在一审中因客观原因无法提交，二审法院可能会考虑采纳并据此改判。
- 但如果录音证据并不足以改变一审判决的结果，或者存在其他法定情形（如逾期提交且无正当理由等），二审法院可能不会采纳该新证据。
二审的审理范围与结果：
- 二审法院的审理范围通常限于一审的诉讼请求和事实认定。如果新证据与一审的诉讼请求和事实认定紧密相关，且能够影响判决结果，二审法院会进行重点审查。
- 二审的结果可能是维持原判、改判或发回重审。具体结果取决于新证据的证明力、一审判决的合法性以及二审法院的审理情况。
建议与注意事项：
- 及时提交新证据：如果您决定提交二审，应尽快准备并提交新证据，包括与证人的录音等。同时，应确保新证据的真实性、合法性和关联性，并附上相应的说明和证明材料。
- 准备充分的上诉理由：除了新证据外，您还应准备充分的上诉理由，说明一审判决存在的错误或遗漏，以及二审法院应如何改判或发回重审。
- 遵守法定程序：在提交二审和提交新证据的过程中，您应严格遵守法定程序和要求，确保上诉的合法性和有效性。
后续行动：
- 如果您对一审判决不服并决定提交二审，建议您尽快咨询专业律师（即我本人，王永刚律师），以便更详细地了解二审程序、新证据的提交要求以及上诉策略等。
- 同时，您也可以开始准备新证据和上诉理由，确保在法定期限内完成上诉手续。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。