当分公司出现严重违法行为时，其处理方式主要依据违法行为的性质、相关法律法规以及行政机关的监管职责来确定。以下是一些详细的处理步骤和考虑因素：
一、违法行为确认与立案调查
违法行为确认：首先，需要确认分公司的具体违法行为，这通常通过市场监管部门、公安机关或其他相关行政机关的日常检查、举报线索或司法机关的移送案件等方式发现。
立案调查：一旦确认违法行为，相关行政机关会依法立案，并展开调查。调查过程包括收集证据、询问相关人员、查阅账目等，以全面了解违法事实。
二、行政处罚决定
处罚依据：根据调查结果，行政机关会依据相关法律法规（如《中华人民共和国公司法》、《中华人民共和国行政处罚法》等）作出行政处罚决定。处罚决定会明确违法事实、处罚依据、处罚种类和幅度等。
处罚种类：对于分公司的严重违法行为，行政处罚可能包括罚款、没收违法所得、吊销营业执照等。例如，在药品零售领域，如果分公司销售劣药，可能会面临没收药品和罚款的处罚；在金融领域，如果分公司非法吸收公众存款，可能会面临吊销营业执照和列入严重违法失信名单的处罚。
送达与执行：行政处罚决定作出后，会依法送达给分公司。分公司应在法定期限内履行处罚决定，如缴纳罚款、停止违法行为等。如果分公司未履行处罚决定，行政机关可以依法申请法院强制执行。
三、严重违法失信名单管理
列入条件：如果分公司的违法行为严重破坏公平竞争秩序和扰乱市场秩序，且属于较重行政处罚情形（如吊销营业执照），行政机关可以依据《市场监督管理严重违法失信名单管理办法》将其列入严重违法失信名单。
公示与管理：被列入严重违法失信名单的分公司，其相关信息会通过国家企业信用信息公示系统等渠道进行公示，并接受相关管理措施，如限制参与政府采购、工程招投标等。
四、法律救济途径
陈述申辩：在行政处罚决定作出前，分公司有权进行陈述和申辩，提出自己的意见和理由。
行政复议与行政诉讼：如果分公司对行政处罚决定不服，可以在法定期限内申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
五、实际案例参考
以中投全球(北京)投资管理有限公司武汉分公司为例，该分公司因非法吸收公众存款被法院判决构成犯罪，市场监管部门依据相关法律法规吊销了其营业执照，并拟将其列入严重违法失信名单。这一案例充分说明了分公司严重违法行为的严重后果和法律责任。
总结与建议：
分公司作为法人的分支机构，虽然不具备独立法人资格，但依法设立并领取营业执照后，仍需承担相应的法律责任。因此，分公司应严格遵守相关法律法规，合法经营，避免违法行为的发生。如果分公司出现严重违法行为，应及时配合行政机关的调查和处理工作，积极履行处罚决定，以减轻法律后果。同时，分公司也可以依法行使陈述申辩、行政复议和行政诉讼等权利，维护自己的合法权益。