私车公用出了事故，责任承担问题需根据具体情况综合判定，但通常情况下，用人单位是主要的责任承担者。以下是对此问题的详细分析：
一、用人单位的责任
职务行为认定：
- 员工在执行工作任务（如外出办公、接送客户等）时使用私车，这被视为职务行为。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。
保险赔付优先：
- 如果事故车辆购买了相应的保险（如交强险、商业三者险等），则先由保险公司在保险责任限额范围内进行赔偿。超出保险范围的部分，再由用人单位按照责任比例承担。
特殊情况下的责任：
- 若单位与员工签订了关于私车公用的书面协议，并明确约定在执行公务期间发生事故由单位负责，且事故确实发生在公务范围内，单位应按协议赔偿。
- 在私车公用过程中，若造成同乘人员（包括同事）或第三者的人身伤害或财产损失，且员工行为属于职务行为，单位应承担相应责任。
二、员工的责任
故意或重大过失：
- 如果员工在私车公用过程中，对交通事故的发生存在故意或者重大过失（如严重超速、酒驾、无证驾驶等），那么员工需要与用人单位承担连带赔偿责任。用人单位在承担赔偿责任后，有权向有故意或者重大过失的员工进行追偿。
非职务行为：
- 员工非因工作原因使用私车发生事故，责任自负。例如，员工在私车公用过程中，擅自改变行程去办理个人事务时发生事故，此时的责任应由员工自行承担。
车辆损失处理：
- 如果员工的车辆在事故中受损，且员工对事故无责任或非主要责任，员工可以根据与用人单位的约定，要求用人单位适当补偿车辆维修等相关损失。若双方没有事先约定，从公平角度出发，用人单位也可能需要分担一定比例的车辆损失费用。但若员工存在故意或重大过失，则可能无法获得补偿。
三、机动车所有人的责任
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条，如果机动车所有人（即员工本人）对事故的发生存在过错（如车辆未定期保养、存在安全隐患等），则也需承担相应的赔偿责任。
四、特殊情况处理
劳务派遣：
- 劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任；劳务派遣单位有过错的，也需承担相应的责任。
工伤待遇：
- 若私车公用过程中发生事故导致职工负伤、残疾或死亡，这属于因工负伤、残疾或死亡，职工应依法享受相应的工伤待遇。
五、预防与建议
- 为避免后续责任纠纷，建议用人单位与员工事先就私车公用事宜签订明确的协议，对责任承担、费用补偿、保险购买等事项进行详细约定。
- 用人单位应加强交通安全管理，定期对员工进行交通安全教育培训，确保员工在私车公用过程中遵守交通规则，降低事故发生风险。
总结：私车公用出事故时，责任的承担需综合考虑事故的具体情况、各方的过错程度以及相关法律法规的规定。用人单位作为主要的责任承担者，应加强对员工的管理和培训，以降低事故风险并保障各方权益。同时，员工也应自觉遵守交通规则，确保行车安全。如果您在私车公用过程中遇到了事故责任纠纷，欢迎随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。