共同支付责任在特定条件下确实享有追偿权。这一权利的实现并非无条件，而是依赖于具体的法律约定、债务承担方式以及实际情况。下面，我将从多个角度详细分析这一问题：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国民法典》第五百一十九条的规定，连带债务人之间的份额难以确定的，视为份额相同。实际承担债务超过自己份额的连带债务人，有权就超出部分在其他连带债务人未履行的份额范围内向其追偿，并相应地享有债权人的权利，但是不得损害债权人的利益。这一条款为共同支付责任中的追偿权提供了明确的法律依据。
二、可以追偿的情况
明确约定按份承担债务：
- 如果共同支付责任的各方在合同中明确约定了各自应承担的债务份额，那么当某一方实际承担的债务超过了其份额时，该方就有权向其他方追偿超出部分。
基于共同经营行为产生的债务：
- 若共同支付责任是基于合伙、联营等共同经营行为产生，部分合伙人对外承担了全部或超出自己应承担份额的债务后，同样有权向其他合伙人追偿。
未明确约定但用于共同目的：
- 即使共同支付责任的各方未对相互追偿作出特别约定，但若支付是用于共同经营活动或家庭生活等共同目的，基于公平原则，各支付方对偿还债务负有连带责任，相互之间也享有追偿权。
三、追偿权的行使条件
存在连带债务关系：
- 共同支付责任的各方需对债务承担连带责任，这是追偿权产生的基础。无论是合同明确约定还是法律规定应当认定为连带责任，都满足这一条件。
部分共同支付方超额承担债务：
- 当部分共同支付方实际偿还的债务数额超过了其按份应承担的份额时，才会产生向其他共同支付方追偿的权利。
在其他连带债务人未履行的份额范围内追偿：
- 追偿权的行使范围严格限于其他连带债务人未履行的份额。例如，若甲乙丙三人作为共同支付方，约定平均分担债务，但其中一人偿还了全部或超出其份额的债务，则该人只能在乙丙各自应承担的份额内向他们追偿。
考虑共同支付方之间的具体约定：
- 如果共同支付方在支付前对彼此有明确的相互追偿约定，或者在其中一人还清所有债务后，其他共同支付方同意承担按份责任，那么追偿权将更容易得到确认和行使。
四、实际操作中的注意事项
保留证据：
- 在行使追偿权时，应保留所有与债务承担和追偿相关的证据，如还款凭证、借款合同、沟通记录等。这些证据将有助于证明你的追偿请求是合理和合法的。
协商优先：
- 在采取法律手段之前，可以尝试与其他共同支付方进行协商，寻求和解。通过友好沟通，可能达成双方都能接受的解决方案，避免不必要的法律纠纷。
法律途径：
- 若协商不成，追偿方可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼中，需提供充分的证据支持自己的追偿请求。法院将根据法律规定和事实情况进行审理，并作出判决。
不损害债权人利益：
- 在行使追偿权时，应确保不损害原债权人的利益。否则，可能面临法律责任，甚至导致追偿请求被驳回。
五、举例说明
假设甲乙丙三人作为共同借款人向银行借款100万元，并约定平均分担债务。然而，在还款过程中，甲偿还了全部100万元。根据法律规定和合同约定，甲有权向乙和丙追偿各自应承担的33.33万元（忽略小数点和四舍五入问题）。如果乙和丙拒绝偿还，甲可以通过法律途径向他们追偿。
总结来说，共同支付责任在特定条件下确实享有追偿权。这一权利的实现需要满足一定的条件，并遵循一定的程序。在实际操作中，应保留证据、协商优先、必要时采取法律途径，并确保不损害债权人的利益。如果你有任何关于共同支付责任追偿权的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。