企业被起诉时，监事是否有责任主要取决于监事是否履行了法定职责、是否存在过错行为，以及案件的具体情况。以下是对此问题的详细分析：

一、监事的一般法律责任与免责情形

1. 有限责任原则：

   • 监事作为公司治理结构中的重要角色，主要负责监督公司的经营管理活动，确保公司遵守法律法规和公司章程。在一般情况下，监事对公司债务承担的是有限责任，即以其认缴的出资额为限对公司承担责任。这意味着，除非存在特殊情形，否则监事个人财产通常不会因公司债务而被追偿。

2. 无独立对外代表权：

   • 监事不直接参与公司的日常经营决策，也不具有对外代表公司的权力。因此，监事通常不会因为公司的正常经营活动而直接面临法律责任。

3. 已履行忠实勤勉义务：

   • 若监事在公司运营过程中已经尽到了忠实和勤勉的义务，且没有违反任何法律、行政法规或公司章程的规定，那么他们就不需要承担责任。例如，在一些普通的民事纠纷中（如借款纠纷、租赁纠纷等），如果纠纷与监事的履职行为无直接关联，那么起诉时可能不需要特别强调其作为监事的责任。

二、监事可能承担责任的特定情形

1. 未履行忠实勤勉义务：

   • 如果监事在执行职务过程中未尽到应有的忠实和勤勉义务，导致公司利益受损，那么监事可能需要承担赔偿责任。例如，监事明知董事或高管的违法行为而不予制止或报告，就可能被视为未尽到监督职责。

2. 协助违法违规行为：

   • 如果监事积极参与或协助公司的违法违规行为，如提供虚假财务报告、隐瞒重要信息等，那么监事将需要承担相应的法律责任。

3. 共同侵权或犯罪：

   • 在某些情况下，监事可能与公司其他人员共同实施侵权行为或犯罪行为，此时监事也需要承担相应的法律责任。例如，若监事与董事或高管共同实施财务造假行为，将可能面临刑事处罚和民事赔偿。

三、具体案例分析

• 案例一：某公司因产品质量问题被消费者起诉，监事在调查中发现产品存在安全隐患但未及时报告董事会采取措施。在此情况下，若监事的行为被认定为未尽到监督职责且导致公司损失扩大，则可能需要承担一定的赔偿责任。

• 案例二：另一家公司因财务造假被监管部门处罚，监事在知悉财务造假行为后未向相关部门举报。由于监事未能履行忠实勤勉义务且协助了违法行为的发生，因此可能需要与公司其他责任人共同承担法律责任。

四、监事应如何应对

1. 了解并遵守法律法规：

   • 监事应深入学习和理解相关法律法规及公司章程，确保自己的行为始终符合法律要求。

2. 勤勉尽责履行监督职责：

   • 监事应积极主动地对公司的财务和经营情况进行严格监督，确保公司合法合规经营，及时发现并纠正潜在问题。

3. 及时提出合理化建议：

   • 监事应密切关注公司的经营状况和法律风险，针对发现的问题及时提出合理化的建议和意见，帮助公司防范和化解法律风险。

总结来说，企业被起诉时，监事是否有责任取决于其是否履行了法定职责、是否存在过错行为。若监事已尽到忠实和勤勉义务，且没有违反任何法律、行政法规或公司章程的规定，则通常不需要承担责任。然而，在特定情形下，如监事未履行监督职责、协助违法违规行为或共同实施侵权行为等，监事可能需要承担相应的法律责任。因此，监事应时刻保持警惕，严格遵守法律法规和公司章程，勤勉尽责地履行监督职责。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。