公办敬老院院长合同到期后，通常会有以下几种处理方式，具体取决于合同约定、单位决策以及相关法律法规的规定：

1. 合同续签：

   • 如果院长在合同期间表现优秀，且双方均有继续合作的意愿，那么合同到期后可以选择续签。续签合同应明确新的合同期限、工作内容、薪酬待遇等条款，确保双方权益得到保障。

2. 合同终止：

   • 合同到期后，如果任何一方没有提出续签的意愿，或者双方就续签条件无法达成一致，那么合同将自然终止。此时，院长需要按照合同约定办理离职手续，包括工作交接、财务结算等。
   • 如果合同中有约定终止条件，如院长达到退休年龄、因健康原因无法继续工作等，那么合同在满足这些条件时也将终止。

3. 单位不续签的补偿：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果合同到期是因单位原因不续签（如单位改制、撤销等），且院长没有违反合同约定或法律法规的行为，那么单位应当向院长支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照院长在单位的工作年限和月工资来计算。

4. 特殊情况处理：

   • 如果院长在合同期间有严重违反合同约定或法律法规的行为，单位有权在合同到期前或到期时解除合同，且不需要支付经济补偿。
   • 如果因不可抗力因素（如自然灾害、政策调整等）导致合同无法继续履行，双方应协商解决后续事宜，包括是否续签、如何补偿等。

建议：

• 对于院长而言，在合同到期前应主动与单位沟通，了解单位对续签合同的意向和条件，以便做好个人职业规划。
• 如果单位提出不续签或变更合同条件，院长应仔细审查相关条款，确保自己的权益不受损害。如有必要，可以寻求法律援助或咨询专业律师。
• 对于单位而言，应依法依规处理合同到期事宜，确保程序的合法性和公正性，避免引发不必要的劳动纠纷。

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