结论：哥哥和妹妹确实都有赡养老人的义务，若哥哥在妈妈生病时不管不顾，这违反了法律规定，妹妹可以采取一些措施来维护妈妈的权益。

详细分析：

1. 赡养义务的法律基础：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母有赡养扶助的义务。这包括经济上的供养、生活上的照料以及精神上的慰藉。在父母生病或需要照顾时，子女应当提供必要的帮助和支持。

2. 哥哥不管不顾的法律后果：

   • 如果哥哥在妈妈生病时拒绝履行赡养义务，这首先违反了道德准则，同时也构成了违法行为。妈妈有权要求哥哥履行赡养义务，包括支付医疗费用、提供生活照料等。
   • 若哥哥仍然拒绝履行，妈妈或妹妹可以向当地居民委员会、村民委员会或者哥哥所在单位求助，请求他们进行调解。这些机构或单位有责任对赡养纠纷进行调解，促使哥哥履行赡养义务。
   • 如果调解无果，妈妈或妹妹还可以向人民法院提起诉讼，要求哥哥履行赡养义务。法院在审理此类案件时，会依法判决哥哥承担相应的赡养责任，包括支付赡养费、医疗费等。

3. 妹妹可以采取的措施：

   • 妹妹可以首先尝试与哥哥进行沟通，了解他拒绝履行赡养义务的原因，并尝试说服他履行义务。
   • 如果沟通无果，妹妹可以协助妈妈向当地居民委员会、村民委员会或者哥哥所在单位求助，请求他们进行调解。
   • 若调解仍然无法解决问题，妹妹可以代表妈妈向人民法院提起诉讼，要求哥哥履行赡养义务。在诉讼过程中，妹妹需要提供充分的证据来证明哥哥未履行赡养义务的事实。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 在采取任何行动之前，妹妹应当确保收集到充分的证据来证明哥哥未履行赡养义务的事实。这可以包括医疗记录、费用单据、证人证言等。
   • 在与哥哥沟通或寻求调解时，妹妹应当保持冷静和理性，避免情绪化的冲突和争执。
   • 如果决定提起诉讼，妹妹应当咨询专业律师的意见，了解诉讼程序和可能面临的法律风险，以便更好地维护妈妈的权益。

建议：

• 妹妹可以先尝试与哥哥进行友好沟通，了解他的想法和困难，并尝试找到解决问题的方法。
• 如果沟通无果，妹妹可以积极寻求外部帮助，如居民委员会、村民委员会或哥哥所在单位的调解。
• 若调解仍然无法解决问题，妹妹应当果断采取法律手段，向人民法院提起诉讼，要求哥哥履行赡养义务。

在整个过程中，妹妹应当保持冷静和理性，以维护妈妈的权益为首要目标。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。