行政机关在收到履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复，这是行政机关的法定职责。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据与答复义务
法定答复义务：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》和《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规，公民、法人或其他组织向行政机关提出履职申请时，行政机关有义务在法定期限内作出答复并履行相应职责。这是保障申请人合法权益的重要法律原则。
具体法规的细化规定：
- 以《政府信息公开条例》为例，该条例明确规定，行政机关应在收到政府信息公开申请后的一定工作日内（通常为20个工作日，可延长至40个工作日）予以答复。这体现了对行政机关答复时限的具体要求，虽然它针对的是政府信息公开申请，但同样反映了行政机关对履职申请应给予及时答复的普遍原则。
二、答复的时限与延期
一般答复时限：
- 行政机关对履职申请的答复时限一般为六十天。这是基于行政效率和申请人权益保护的平衡考虑，确保行政机关有足够的时间进行审查和处理，同时避免申请人长时间等待。
延期答复的情况：
- 对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限，但延长期限不得超过三十天。这是为了应对特殊情况，确保答复的准确性和合法性。
三、答复的形式与要求
书面回复的优先性：
- 虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。它有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，提高行政机关的透明度和公信力。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面回复。
非书面回复的例外情况：
- 在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关可以选择非书面方式进行回复。但这种回复方式应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。这是为了应对特殊情况，确保答复的及时性和有效性。
四、不答复的法律后果
行政复议与行政诉讼：
- 如果行政机关未在规定期限内答复或处理履职申请，申请人有权提起行政复议或行政诉讼。这是法律赋予申请人的救济途径，用于维护其合法权益。
行政机关的责任：
- 行政机关未依法答复履职申请，可能构成行政不作为，需要承担相应的法律责任。这包括被责令履行职责、赔偿申请人损失等。
五、实际建议
- 保留申请证据：在提交履职申请时，建议申请人保留好申请的相关证据，如邮寄凭证、电子邮件截图等，以便在需要时证明自己已经提出了申请。
- 及时跟进：如果行政机关在规定期限内未给予答复，申请人可以及时跟进，了解处理进度，并提醒行政机关履行法定职责。
- 寻求法律帮助：如果申请人对行政机关的答复不满意或认为行政机关未依法履行职责，可以寻求法律帮助，通过行政复议或行政诉讼等途径维护自己的合法权益。
综上所述，行政机关在收到履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障申请人合法权益的重要举措。如果您在履职申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。