结论：公安以无违法事实的认定对有违法事实的案子作出终止调查决定，这一行为通常是违法的。 下面我将从多个角度进行详细分析：
一、法律依据与程序要求
《中华人民共和国治安管理处罚法》及相关规定：
- 公安机关在办理治安案件时，必须依法进行调查取证，查明事实真相。如果确实存在违法事实，公安机关应当依法对违法行为人进行处罚，而不是简单地以“无违法事实”为由终止调查。
- 终止调查的决定应当基于充分的证据和合理的判断，确保案件处理的公正性和合法性。
程序正当性原则：
- 公安机关在作出终止调查决定前，应当确保已经充分履行了调查职责，收集了足够的证据来支持其决定。
- 如果公安机关在未充分调查或未收集到足够证据的情况下就作出终止调查决定，这显然违反了程序正当性原则。
二、违法事实的认定与终止调查的关系
违法事实的认定：
- 违法事实的认定是公安机关办理案件的基础。只有确实存在违法事实，公安机关才有权对违法行为人进行处罚。
- 如果公安机关在调查过程中发现存在违法事实，但随后又以“无违法事实”为由终止调查，这显然是自相矛盾的，也是违法的。
终止调查的适用条件：
- 终止调查通常适用于那些经过调查后确认不存在违法事实、违法行为已过追诉时效、违法嫌疑人死亡等情形。
- 如果案件中确实存在违法事实，且不符合终止调查的其他适用条件，公安机关就无权作出终止调查决定。
三、可能的法律后果与救济途径
法律后果：
- 如果公安机关违法作出终止调查决定，可能会面临内部监督机制的纠正，如上级公安机关的复查、行政复议等。
- 在极端情况下，如果公安机关的违法行为导致当事人权益受损，还可能面临国家赔偿等法律责任。
救济途径：
- 当事人如果对公安机关的终止调查决定不服，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
- 在申请行政复议或提起行政诉讼时，当事人需要提供充分的证据来证明公安机关的终止调查决定是违法的。
四、实际操作中的注意事项
证据收集与保存：
- 当事人在认为公安机关的终止调查决定违法时，应当积极收集并保存相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以支持自己的主张。
法律程序与期限：
- 当事人在申请行政复议或提起行政诉讼时，应当注意遵守相关的法律程序和期限要求，确保自己的诉求能够得到及时、有效的处理。
总结与建议：公安以无违法事实的认定对有违法事实的案子作出终止调查决定，这一行为通常是违法的。如果当事人遇到这种情况，应当积极收集证据并依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。