结论：针对教育局不履职、不作为，辖区学校出现多项违规行为而教育局不监管的情况，您确实可以提起行政诉讼。

详细分析：

1. 行政诉讼的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。在这里，教育局作为行政机关，其不履职、不作为的行为，如果侵犯了您的合法权益（比如您作为家长，孩子的受教育权受到学校违规行为的影响），您就有权提起行政诉讼。

2. 教育局的监管职责：

   • 教育局作为教育行政主管部门，对辖区内的学校负有监管职责。这包括监督学校遵守教育法律法规、执行教育政策、保障学生权益等。如果教育局未能履行这些职责，导致学校出现违规行为，且这些行为对您的合法权益造成了损害，那么教育局的行为就构成了行政不作为。

3. 提起行政诉讼的条件：

   • 您需要证明教育局存在不履职、不作为的行为。这可以通过收集相关证据，如学校违规行为的证据、向教育局投诉但未得到处理的证据等。
   • 您需要证明这些不作为行为与您的合法权益受到损害之间存在因果关系。即，由于教育局的不作为，导致学校违规行为得以持续，进而对您的合法权益造成了损害。
   • 您需要在法定的诉讼时效内提起诉讼。一般来说，行政诉讼的诉讼时效为知道或者应当知道行政行为作出之日起六个月内，但法律另有规定的除外。

4. 可能的法律后果：

   • 如果法院认定教育局确实存在不履职、不作为的行为，且这些行为对您的合法权益造成了损害，那么法院可能会判决教育局承担相应的法律责任，如责令教育局履行监管职责、赔偿您的损失等。
   • 同时，这也可能对教育局的声誉和公信力造成负面影响，促使其加强内部管理，提高行政效率和服务质量。

建议：

• 在提起行政诉讼前，您可以先尝试通过行政复议等途径解决问题。行政复议是一种相对简便、快捷的解决行政争议的方式，且不需要支付诉讼费用。
• 如果您决定提起行政诉讼，建议您咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我专注于房产纠纷、拆迁安置、合同纠纷、交通事故、公司事务、行政纠纷、经济纠纷等领域），以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以帮助您收集证据、撰写诉状、参与庭审等，提高您的胜诉几率。
• 在诉讼过程中，您需要保持冷静和理性，积极配合法院和律师的工作，以维护自己的合法权益。