若想基于新证据重新提出刑事立案监督，可按以下步骤进行：

1. 明确法律依据与监督主体
   根据《刑事诉讼法》第113条及《人民检察院刑事诉讼规则》第557-563条，刑事立案监督的申请需向作出不立案决定的公安机关的同级人民检察院提出。若公安机关未作出不立案决定但存在应立不立情形，也可直接向检察院申请监督。

2. 收集并固定新证据
   新证据需满足以下条件：

   • 关联性：直接证明案件存在犯罪事实（如物证、证人证言、监控录像等）；
     
   • 合法性：通过合法途径获取（如公安机关补充侦查、自行收集的合法证据）；
     
   • 时效性：在原立案审查后新发现或新取得的证据（如关键证人翻供、新鉴定意见等）。
     示例：若原案因“证据不足”不立案，后发现凶器上的DNA与嫌疑人匹配，该鉴定意见即为有效新证据。

3. 提交书面监督申请
   向检察院提交《刑事立案监督申请书》，需包含：

   • 申请人信息（姓名、联系方式等）；
     
   • 原公安机关不立案决定书（如有）；
     
   • 新证据清单及证明内容（附证据复印件）；
     
   • 申请监督的具体请求（如要求公安机关说明不立案理由或直接立案）。
     注意：若证据涉及专业问题（如电子数据、财务审计），建议附专家意见或鉴定报告。

4. 检察院审查与处理
   检察院收到申请后，会要求公安机关说明不立案理由。若理由不成立，将通知公安机关立案；公安机关拒不立案的，可建议其上级机关纠正，或直接向法院提起自诉（仅限部分案件）。
   流程时限：检察院应在收到申请后15日内要求公安机关说明理由，公安机关需在7日内说明；检察院经审查认为理由不成立的，应在15日内通知公安机关立案。

5. 后续救济途径
   若检察院不予支持监督申请，可：

   • 向上一级检察院申请复议；
     
   • 若案件符合自诉条件（如侮辱、诽谤案），直接向法院提起刑事自诉。
     

关键提醒：

• 新证据需形成完整证据链，避免单一证据孤立；
  
• 申请监督前建议咨询律师，评估证据效力及申请成功率；
  
• 监督程序不停止原公安机关的侦查活动，若证据充分，可同步向公安机关提交补充材料要求重新审查。
  

如有具体案件或证据类型需分析，可进一步向我说明细节。