根据国际法和国际实践，外交人员在派遣国犯罪时，所在国通常不能直接追究其刑事责任，但可通过特定程序要求派遣国放弃豁免权或采取其他措施。以下是具体分析：

1. 外交豁免权的法律基础
   根据《维也纳外交关系公约》（1961年）第31条，外交人员享有刑事管辖豁免权，即所在国法院不得对其行使刑事管辖权。这一原则旨在保障外交代表独立执行职务，避免因司法纠纷影响国际关系。豁免范围包括：

   • 派遣国或第三国领土内的犯罪行为；
     
   • 豁免覆盖所有刑事责任，无论犯罪性质或严重程度。

2. 所在国的限制与例外
   尽管外交豁免权是普遍原则，但所在国可通过以下方式间接处理犯罪行为：

   • 要求派遣国放弃豁免权：若犯罪性质严重（如谋杀、恐怖主义），所在国可正式请求派遣国放弃豁免权，使外交人员接受当地司法审判。但派遣国有权自主决定是否放弃，无强制义务。
     
   • 宣布为“不受欢迎的人”：根据《维也纳公约》第9条，所在国可要求派遣国召回该外交人员，或直接宣布其为“不受欢迎的人”并限期离境。此措施不涉及刑事追责，但属于外交层面的制裁。
     
   • 刑事程序的中止：若所在国启动刑事调查，外交人员可主张豁免权要求中止程序。此时，所在国通常需暂停调查，转而通过外交渠道解决。

3. 派遣国的责任与处理方式
   派遣国对享有豁免权的外交人员犯罪负有属人管辖权，即可通过本国法律追究其责任。实践中，派遣国可能采取以下措施：

   • 内部司法程序：将外交人员召回本国后，依国内法审判或处罚（如监禁、罚款）；
     
   • 行政处分：如降职、解职或开除公职，以平息国际争议；
     
   • 放弃豁免权：在极端严重犯罪（如危害人类罪）中，派遣国可能主动放弃豁免权，配合所在国审判。

4. 特殊情形：豁免权的例外
   外交豁免权并非绝对，以下情况可能限制豁免适用：

   • 派遣国明示放弃：派遣国通过书面声明或行为表明放弃豁免权；
     
   • 非职务行为：若犯罪与外交职务无关（如私人商业欺诈），部分国家主张豁免权不适用，但国际实践对此存在争议；
     
   • 严重国际罪行：针对战争罪、种族灭绝等核心国际罪行，国际法倾向于限制豁免权，但需通过国际刑事法院等机制处理，而非所在国单方面行动。

总结建议：
若您涉及此类案件，需结合具体犯罪性质、外交关系状态及两国法律实践综合判断。建议优先通过外交渠道协商，同时关注派遣国是否可能放弃豁免权或采取内部追责措施。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律策略。