结论：是否能开具无犯罪记录证明，需根据打架行为的具体法律后果来判断。若仅被行政处罚（罚款），可开具；若被刑事处罚，则不能开具。

1. 若打架行为仅导致行政处罚（如罚款、行政拘留等）
   根据《刑事诉讼法》及相关规定，无犯罪记录证明中的“犯罪”特指经法院判决构成犯罪的行为。若打架行为未达到刑事立案标准，仅被公安机关处以行政处罚（如罚款、行政拘留），则不属于“犯罪记录”，当事人仍可向公安机关申请开具无犯罪记录证明。
   法律依据：

   • 《公安机关办理犯罪记录查询工作规定》第二条：犯罪记录是指经人民法院生效裁判文书确认有罪的行为。
     
   • 《治安管理处罚法》第四十三条：殴打他人或故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或五百元以下罚款。
     

2. 若打架行为构成刑事犯罪（如故意伤害罪）
   若打架行为导致他人轻伤及以上后果，可能被追究刑事责任（如故意伤害罪）。一旦经法院判决有罪，即使未被实际监禁（如判处缓刑），也会留下犯罪记录，此时公安机关将不予开具无犯罪记录证明。
   法律依据：

   • 《刑法》第二百三十四条：故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。
     
   • 《公安机关办理犯罪记录查询工作规定》第四条：个人可以查询本人犯罪记录，但经人民法院判决有罪的，公安机关应如实出具相关证明。
     

建议：

• 若您仅被行政处罚，可携带身份证到户籍地或居住地公安机关申请开具无犯罪记录证明，并说明处罚类型（行政处罚非犯罪记录）。
  
• 若您曾被刑事立案或判决，需确认案件最终结果（如撤案、不起诉、无罪判决等），若存在上述情形，可申请出具无犯罪记录证明；若被判有罪，则无法开具。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律程序。