当公安部门提请逮捕但检察院决定不批捕，且犯罪嫌疑人随后被取保候审时，这是一个涉及刑事诉讼程序的重要环节。以下是对此情况的详细解答：
一、理解“不批捕”与“取保候审”
首先，需要明确“不批捕”和“取保候审”是两个不同的法律概念。检察院的不批捕决定，通常意味着检察院认为当前证据不足以支持逮捕犯罪嫌疑人，或者认为犯罪嫌疑人没有社会危险性，因此不批准公安机关的逮捕申请。而取保候审，则是在一定条件下，如提供保证金或保证人，允许犯罪嫌疑人暂时离开拘留所，等待案件的进一步审理。
二、公安部门在检察院不批捕后的处理
立即释放：根据《刑事诉讼法》的规定，公安部门在接到检察院不批捕的通知后，应立即释放被拘留的犯罪嫌疑人，并将执行情况及时通知检察院。这是保障公民人身自由权利的重要措施。
考虑取保候审：释放犯罪嫌疑人后，公安部门会根据案件的具体情况和犯罪嫌疑人的个人情况，决定是否需要变更强制措施为取保候审。取保候审的条件包括但不限于：可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性；羁押期限届满，案件尚未办结等。
三、取保候审期间的注意事项
遵守规定：犯罪嫌疑人在取保候审期间，必须遵守相关的法律规定和取保候审的决定书中的要求，如不得离开指定的居住地、不得干扰证人作证等。
配合调查：犯罪嫌疑人应积极配合公安部门的调查工作，提供必要的证据和信息，以推动案件的顺利进行。
定期报到：根据取保候审的决定，犯罪嫌疑人可能需要定期向公安部门报到，以证明其没有逃跑或隐藏的意图。
四、后续法律程序
取保候审并不意味着案件的结束。公安部门会继续对案件进行调查，收集证据，并根据调查结果决定是否将案件移送检察院审查起诉。如果案件被移送起诉，犯罪嫌疑人将面临法院的审判。
五、建议与咨询
如果您或您身边的人面临类似情况，我建议您尽快咨询专业律师。律师能够根据您的具体情况，提供更准确的法律意见和帮助，包括如何申请取保候审、如何配合调查、如何准备辩护等。
总之，当公安部门提请逮捕但检察院决定不批捕，且犯罪嫌疑人随后被取保候审时，这是一个复杂的法律过程。犯罪嫌疑人应积极配合公安部门的调查工作，遵守相关法律规定，并在必要时寻求专业律师的帮助。