结论概述：针对公司下设的项目经理部私自与相对人恶意签订合同损害第三人利益的情况，可以从合同效力、公司责任、第三人救济途径以及法律责任追究等多个角度进行分析。

1. 合同效力问题：

   • 恶意串通合同无效：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果项目经理部与相对人恶意串通，损害第三人利益，该合同应被认定为无效。恶意串通是指双方以损害他人利益为目的，故意实施的行为。在此情况下，合同自始不具有法律效力。
   • 合同无效的后果：合同无效后，因该合同取得的财产应当予以返还；不能返还或者没有必要返还的，应当折价补偿。有过错的一方应当赔偿对方因此所受到的损失，双方都有过错的，应当各自承担相应的责任。

2. 公司责任问题：

   • 表见代理与职务行为：如果项目经理部的行为构成表见代理或职务行为，公司可能需要承担一定的责任。表见代理是指行为人虽无代理权，但因被代理人的行为造成了足以使善意相对人相信其有代理权的表象，而与善意相对人进行的、由本人承担法律后果的代理行为。职务行为则是指工作人员在职权范围内，以单位名义实施的行为。
   • 公司内部管理责任：公司应加强对项目经理部的管理和监督，防止类似事件的发生。如果公司因管理不善导致项目经理部能够私自签订合同并损害第三人利益，公司可能需要承担一定的内部管理责任。

3. 第三人救济途径：

   • 提起诉讼：第三人可以向法院提起诉讼，要求确认合同无效，并要求恶意串通的双方承担赔偿责任。在诉讼过程中，第三人需要提供充分的证据证明项目经理部与相对人存在恶意串通的行为。
   • 申请财产保全：为了防止恶意串通的双方转移财产，第三人可以在提起诉讼的同时申请财产保全，以确保判决能够得到有效执行。

4. 法律责任追究：

   • 民事责任：恶意串通的双方需要承担民事赔偿责任，赔偿第三人因此所受到的损失。
   • 行政责任与刑事责任：如果项目经理部与相对人的行为构成犯罪（如诈骗罪、合同诈骗罪等），他们还需要承担相应的行政责任和刑事责任。公司如果存在管理不善等过错，也可能面临行政处罚。

进一步思考与建议：

• 加强合同审查：公司在签订合同时应加强对合同内容的审查，确保合同条款合法合规，避免存在损害第三人利益的条款。
• 完善内部管理：公司应完善内部管理制度，明确项目经理部的职权范围，加强对项目经理部的监督和管理，防止类似事件的发生。
• 及时咨询律师：如果公司发现项目经理部存在私自签订合同并损害第三人利益的情况，应及时咨询专业律师，了解相关法律责任和救济途径，以便及时采取措施维护自身权益。

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