建筑废弃物倾倒至农田的行为，主要由环境保护部门和农业农村部门负责处理，具体职责划分及处理方式如下：

1. 环境保护部门
   根据《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》第二十条，产生、收集、贮存、运输、利用、处置固体废物的单位和个人，应当采取措施防止或者减少固体废物对环境的污染。若建筑废弃物被非法倾倒至农田，可能造成土壤污染、水体污染等环境问题，此时环保部门有权依据该法第一百零二条对违法行为进行查处，包括责令停止违法行为、限期改正、罚款等。若倾倒行为涉嫌污染环境罪，环保部门还需将案件移送公安机关立案侦查。

2. 农业农村部门
   农田属于农业用地，其保护和管理由农业农村部门负责。根据《中华人民共和国土地管理法》第七十五条，禁止占用耕地建窑、建坟或者擅自在耕地上建房、挖砂、采石、采矿、取土等，破坏种植条件的，由县级以上人民政府自然资源主管部门、农业农村主管部门等按照职责责令限期改正或者治理，可以并处罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。若建筑废弃物倾倒导致农田破坏、种植条件丧失，农业农村部门有权依据该法及《基本农田保护条例》等相关规定，要求责任人恢复土地原状或承担修复费用，并可处以罚款。

处理建议：

• 若发现建筑废弃物倾倒至农田，可首先向当地环保部门举报，要求其对环境违法行为进行查处；
  
• 同时，可向农业农村部门反映农田受损情况，要求其对土地破坏行为进行调查并责令修复；
  
• 若倾倒行为涉及刑事犯罪（如污染环境罪），环保部门或农业农村部门应将案件移送公安机关处理。
  

温馨提示：
建筑废弃物应依法分类处置，禁止随意倾倒。若您遇到此类问题或需要进一步了解相关法律程序，可直接向我咨询，我将为您提供专业解答。