结论：狗不拴绳在公路上乱窜，若因此导致开车司机死亡，狗的主人通常需要承担相应的法律责任，这主要依据的是《中华人民共和国民法典》中关于动物致人损害责任的相关规定。
法律分析：
动物致人损害责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”
- 在本案例中，狗作为饲养的动物，在公路上乱窜并导致司机死亡，显然构成了对他人（司机）的损害。因此，狗的主人（饲养人或管理人）应当承担侵权责任。
责任的具体承担：
- 狗的主人需要承担的是民事赔偿责任，包括但不限于死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费等。
- 如果狗的主人能够证明司机的死亡是由于司机自身的故意或重大过失造成的（例如，司机故意撞向狗或严重违反交通规则导致事故），那么狗的主人可能不承担或减轻责任。但在大多数情况下，这种证明是非常困难的。
特殊情况考虑：
- 如果狗是在被他人偷走或逃逸的情况下在公路上乱窜，那么狗的原主人可能在一定程度上减轻或免除责任，但具体还需根据案件事实和法律规定来判断。
- 如果公路管理方存在管理疏忽，如未设置足够的警示标志或未及时清理障碍物等，也可能对事故的发生负有一定责任。但这并不免除狗主人的主要责任。
建议与后果：
- 对于狗主人：应严格遵守动物饲养和管理规定，确保动物不会对他人造成损害。一旦发生动物致人损害的事件，应积极配合相关部门调查，并承担相应的法律责任。
- 对于受害者家属：可以依法向狗主人提起民事诉讼，要求赔偿相关损失。在诉讼过程中，应提供充分的证据证明狗主人的过错和受害者的损失。
- 法律后果：如果狗主人拒绝承担责任或无法达成赔偿协议，受害者家属可以向法院申请强制执行。同时，狗主人还可能面临行政处罚或刑事责任（如果其行为构成犯罪的话）。
总结与进一步思考：
- 动物致人损害责任是一个重要的法律问题，涉及到动物饲养人、管理人以及受害者的权益保护。
- 在实际生活中，应加强对动物饲养和管理的监管力度，提高公众的法律意识和安全意识。
- 如果遇到类似问题或有其他法律疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。