您有权要求超市进行赔偿，具体可按照以下步骤和思路处理：
保留证据：
- 首先，请务必保留好购买鸡蛋的小票或支付记录，这是证明您与超市之间存在买卖合同关系的重要证据。
- 其次，将敲开后发臭的鸡蛋进行拍照或录像，记录下鸡蛋的异常状态，作为商品存在质量问题的直接证据。
与超市协商：
- 携带上述证据，前往超市的客服部门或服务台，向工作人员说明情况，并提出您的赔偿要求。
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，您有权要求超市进行退货、换货或者赔偿。具体赔偿金额可以根据您的实际损失（如购买鸡蛋的费用、因食用问题鸡蛋可能产生的医疗费用等）以及超市的过错程度来协商确定。
寻求消费者协会帮助：
- 如果与超市协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉，寻求他们的帮助和调解。
- 消费者协会会依据相关法律法规，对您的投诉进行调查，并尝试促成双方达成和解。
法律途径：
- 如果上述途径均无法解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
- 您可以向法院提起诉讼，要求超市承担相应的法律责任，包括赔偿您的损失、支付违约金等。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明超市的过错以及您因此遭受的损失。
在处理此类问题时，有几点需要特别注意：
- 及时性：一旦发现鸡蛋存在问题，应尽快与超市联系并保留好相关证据，以免因时间拖延而导致证据灭失。
- 合理性：在提出赔偿要求时，应确保要求合理且符合法律法规的规定，避免提出过高或不切实际的赔偿要求。
- 合法性：在维护自己权益的过程中，应遵守法律法规的规定，不得采取过激或违法的行为。
举例说明：
假设您在超市购买了一盒鸡蛋，回家敲开后发现鸡蛋发臭。您立即保留了购买小票和鸡蛋的照片，并前往超市客服部门说明情况。超市工作人员初步同意为您退货并赔偿您购买鸡蛋的费用。但如果您认为超市还应赔偿您因食用问题鸡蛋可能产生的医疗费用等其他损失，而超市不同意，此时您就可以考虑向消费者协会投诉或通过法律途径来维护自己的权益。